Seja
um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto
é um subespaço de
.
(m)
(m)
Passo 1
O enunciado apresenta o espaço vetorial
(todas as matrizes reais
) e o subconjunto
Para decidir se
é subespaço, vamos verificar as três propriedades essenciais:
.
.
. Se
então
.
. Se
e
então
.
Passo 2
Verificamos a presença do vetor nulo:
o elemento zero deM(2,2) é
o elemento zero de
cujo determinante é
Logo
0in W .
Passo 3
Verificamos fechamento sob multiplicação escalar. Seja
Ain W com
det A = ad - bc>=0 . Para qualquer
lambdainR ,
Como
lambda^2>=0 e
ad-bc>=0 , segue
det(lambda A)>=0 , ou seja,
lambda Ain W .
Passo 4
Verificamos fechamento sob soma buscando contraexemplo. Considere
Calculamos
portanto
A,Bin W . Porém
logo
A+Bnotin W . Isso mostra que
W não é fechado sob soma.