Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
(m) W=A in M(2,2) lvert, A=[lla & b c & d] ; a d >= b c

Passo 1

O enunciado apresenta o espaço vetorial (todas as matrizes reais ) e o subconjunto
Para decidir se é subespaço, vamos verificar as três propriedades essenciais:
. .
. Se então .
. Se e então .

Passo 2

Verificamos a presença do vetor nulo:
o elemento zero de M(2,2) é
0 = 0&00&0,
cujo determinante é
0cdot0 - 0cdot0 = 0>=0
Logo 0in W.

Passo 3

Verificamos fechamento sob multiplicação escalar. Seja Ain W com det A = ad - bc>=0. Para qualquer lambdainR,
lambda A =lambda a & lambda b lambda c & lambda d Longrightarrow det(lambda A) =(lambda a)(lambda d)-(lambda b)(lambda c) =lambda^2,(ad-bc)
Como lambda^2>=0 e ad-bc>=0, segue det(lambda A)>=0, ou seja, lambda Ain W.

Passo 4

Verificamos fechamento sob soma buscando contraexemplo. Considere
A = 1&00&1, B = -2&30&0
Calculamos
det(A)=1cdot1-0cdot0=1>=0, det(B)=(-2)cdot0-3cdot0=0>=0,
portanto A,Bin W. Porém
A+B =-1&30&1, det(A+B)=(-1)cdot1-3cdot0=-1<0,
logo A+Bnotin W. Isso mostra que W não é fechado sob soma.

Resposta

W não é subespaço de M(2,2).

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