Seja
um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto
é um subespaço de
.
(n)
’
(n)
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial real
e o subconjunto
isto é, o conjunto de todas as matrizes diagonais de ordem
. Queremos verificar se
é um subespaço de
. Para isso, usamos a definição de subespaço:
-
. - Fechamento sob soma: se
então . - Fechamento sob multiplicação escalar: se
e então .
Passo 2
Verificamos que o elemento zero de
, a matriz
com todos os coeficientes zero, pertence a
, pois para todo
temos
. Logo,
.
Passo 3
Fechamento sob soma. Tomemos
. Então, para todo
,
Logo,
mostrando que
.
Passo 4
Fechamento sob escalar. Seja
e
. Para
temos
, então
de modo que
.
Passo 5
Como
é não vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.