Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
(n) W=A in M(n, n) mid ai j=0 ; i neq j

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial real V=M(n,n) e o subconjunto
W = Ain M(n,n)mid aij=0 para ineq j,
isto é, o conjunto de todas as matrizes diagonais de ordem n. Queremos verificar se W é um subespaço de V. Para isso, usamos a definição de subespaço:
  1. Wneq emptyset.
  2. Fechamento sob soma: se A,Bin W então A+Bin W.
  3. Fechamento sob multiplicação escalar: se cinR e Ain W então cAin W.

Passo 2

Verificamos que o elemento zero de M(n,n), a matriz 0 com todos os coeficientes zero, pertence a W, pois para todo ineq j temos (0)ij=0. Logo, Wneqemptyset.

Passo 3

Fechamento sob soma. Tomemos A,Bin W. Então, para todo ineq j,
aij=0 e bij=0
Logo,
(A+B)ij = aij + bij = 0 + 0 = 0,
mostrando que A+Bin W.

Passo 4

Fechamento sob escalar. Seja cinR e Ain W. Para ineq j temos aij=0, então
(cA)ij = ccdot aij = ccdot 0 = 0,
de modo que cAin W.

Passo 5

Como W é não vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço de M(n,n).

Resposta

W é subespaço de M(n,n).

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