Seja
um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto
é um subespaço de
.
§
’
§
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial real
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo
com coeficientes em
. Queremos ver se
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar o teste clássico de subespaço:
- Verificar que o polinômio zero pertence a
. - Verificar que
é fechado sob soma. - Verificar que
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Primeiro, o polinômio zero é
para todo
. Em particular,
, logo
. Isso garante que
não está vazio e contém o vetor nulo de
.
Passo 3
Agora, seja
e
dois elementos de
. Então
Ao somarmos,
. Portanto
satisfaz a condição de pertencer a
, ou seja,
. Assim,
é fechado sob soma.
Passo 4
Finalmente, seja
e
. Como
, temos
Logo
também satisfaz a condição
e pertence a
. Isso mostra que
é fechado sob multiplicação escalar.