Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
§ W=p(x) in Pn ; p(0)=0

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial real
Pn, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo n com coeficientes em R. Queremos ver se
W = l,p(x)inPnmid p(0)=0r
é um subespaço de Pn. Para isso, vamos usar o teste clássico de subespaço:
  1. Verificar que o polinômio zero pertence a W.
  2. Verificar que W é fechado sob soma.
  3. Verificar que W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Primeiro, o polinômio zero é p(x)=0 para todo x. Em particular, p(0)=0, logo 0in W. Isso garante que W não está vazio e contém o vetor nulo de Pn.

Passo 3

Agora, seja p e q dois elementos de W. Então
p(0)=0 e q(0)=0
Ao somarmos, (p+q)(0)=p(0)+q(0)=0+0=0. Portanto p+q satisfaz a condição de pertencer a W, ou seja, p+qin W. Assim, W é fechado sob soma.

Passo 4

Finalmente, seja pin W e alphainR. Como p(0)=0, temos
(alpha p)(0)=alphacdot p(0)=alphacdot 0=0
Logo alpha p também satisfaz a condição p(0)=0 e pertence a W. Isso mostra que W é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

W é um subespaço de Pn.

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