Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
(q) W=(x, y) in R^2 mid x+y=0

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial real V=R^2 e o subconjunto
W = (x,y)inR^2 mid x+y=0
Queremos verificar se W é subespaço de V. Para isso, usamos o critério clássico:
  1. W não pode estar vazio (deve conter o vetor zero).
  2. W deve ser fechado sob adição vetorial.
  3. W deve ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos a existência do vetor zero. O vetor zero em R^2 é (0,0). Como
0 + 0 = 0,
temos (0,0)in W. Portanto, W não está vazio e contém o vetor zero.

Passo 3

Verificamos o fechamento sob adição. Seja (x1,y1)in W e (x2,y2)in W. Então
x1 + y1 = 0 e x2 + y2 = 0
Ao somarmos os vetores:
(x1,y1)+(x2,y2) = (,x1+x2,;y1+y2,)
Verificamos a condição em W:
(x1+x2) + (y1+y2) = (x1+y1) + (x2+y2) = 0 + 0 = 0
Logo (x1+x2,y1+y2)in W, ou seja, W é fechado sob adição.

Passo 4

Verificamos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja lambdainR e (x,y)in W, isto é, x+y=0. Então
lambda,(x,y) = (lambda x,;lambda y)
Verificamos a condição em W:
lambda x + lambda y = lambda,(x+y) = lambdacdot 0 = 0
Logo (lambda x,lambda y)in W, ou seja, W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 5

Como W contém o vetor zero e é fechado sob adição e multiplicação escalar, concluímos que W é um subespaço de R^2.

Resposta

W é subespaço de R^2.

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