Seja
um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto
é um subespaço de
.
(q)
’
(q)
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial real
e o subconjunto
Queremos verificar se
é subespaço de
. Para isso, usamos o critério clássico:
-
não pode estar vazio (deve conter o vetor zero). -
deve ser fechado sob adição vetorial. -
deve ser fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos a existência do vetor zero. O vetor zero em
é
. Como
temos
. Portanto,
não está vazio e contém o vetor zero.
Passo 3
Verificamos o fechamento sob adição. Seja
e
. Então
Ao somarmos os vetores:
Verificamos a condição em
:
Logo
, ou seja,
é fechado sob adição.
Passo 4
Verificamos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
, isto é,
. Então
Verificamos a condição em
:
Logo
, ou seja,
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 5
Como
contém o vetor zero e é fechado sob adição e multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço de
.