Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
® W=(x, y) in R^2 mid x-y=0

Passo 1

O enunciado dá V=R^2 e o subconjunto
W=(x,y)inR^2 mid x - y = 0,
que é a reta y=x. Para mostrar que W é subespaço, vamos usar o critério padrão: verificar que W contém o vetor zero, que é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que o vetor zero está em W. O vetor zero em R^2 é (0,0). Como
0 - 0 = 0,
vemos que (0,0)in W. Logo, W não é vazio e contém o zero.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma. Tome (x1,y1)in W e (x2,y2)in W. Então x1 - y1=0 e x2 - y2=0. A soma é
(x1,y1)+(x2,y2) = (x1+x2,;y1+y2)
Calculando a diferença:
(x1+x2);-;(y1+y2) = (x1 - y1) + (x2 - y2) = 0 + 0 = 0
Portanto (x1+x2,;y1+y2)in W, mostrando o fechamento por soma.

Passo 4

Verificar fechamento por escalar. Seja lambdainR e (x,y)in W, isto é, x-y=0. Então
lambda,(x,y) = (lambda x,;lambda y),
e
lambda x - lambda y = lambda,(x - y) = lambdacdot0 = 0
Logo (lambda x,lambda y)in W, provando o fechamento por multiplicação escalar.

Resposta

W é subespaço de R^2.

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