Sejam T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} e S: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} transformações lineares.
(a) Prove que S \circ T não é invertível;
(b) Dê um exemplo em que T \circ S não é invertível e outro em que T \circ S é invertível.

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares:
  • T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2};
  • S:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}.
Pede-se:
(a) provar que S\circ T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} não é invertível;
(b) dar um exemplo em que T\circ S:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} não é invertível e outro em que T\circ S é invertível.
Informações relevantes dadas:
  • Dimensões dos espaços: \dim\mathbb{R}^{3}=3 e \dim\mathbb{R}^{2}=2.
  • Não foram dadas matrizes específicas; podemos trabalhar com propriedades gerais e, para (b), construir exemplos concretos.

Passo 2

Vamos lembrar algumas definições e resultados fundamentais (aula rápida e prática):
  • Uma transformação linear L:V\to W é invertível se existe L^{-1}:W\to V linear tal que L^{-1}\circ L=\mathrm{Id}_V e L\circ L^{-1}=\mathrm{Id}_W. Para isso é necessário e suficiente que L seja bijetiva (injectiva e sobrejetiva).
  • Para espaços vetoriais de dimensão finita, a dimensão da imagem de L chama-se posto ( \operatorname{rank}(L)) e a dimensão do núcleo chama-se nulidade ( \operatorname{nullity}(L)). O Teorema do posto-nulidade diz:
\dim V=\operatorname{rank}(L)+\operatorname{nullity}(L).
  • Uma consequência prática: \operatorname{rank}(L)\le\min(\dim V,\dim W).
  • Para um operador linear de \mathbb{R}^n em si (mesmo domínio e contradomínio, aqui n=3), ser invertível equivale a ter \operatorname{rank}=n (imagem de dimensão total) ou, equivalentemente, núcleo trivial \{0\}.
Essas são as ferramentas que vamos usar: limites de posto por dimensão e posto-nulidade.

Passo 3

Prova de que S\circ T não é invertível (argumento por posto/dimensões), passo a passo e bem explicado:
  1. Aplique a desigualdade de posto para T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}. Como \dim\mathbb{R}^{2}=2, tem-se
\operatorname{rank}(T)\le 2.
Isto é óbvio: a imagem de T vive em \mathbb{R}^{2}, logo não pode ter dimensão maior que 2.
2. Para composições de transformações lineares vale a desigualdade
\operatorname{rank}(S\circ T)\le \operatorname{rank}(T).
Intuição: a imagem de S\circ T é S(\operatorname{Im}T), então seu posto não pode exceder o posto de T.
3. Combinando os dois itens anteriores obtemos
\operatorname{rank}(S\circ T)\le \operatorname{rank}(T)\le 2.
  1. Mas S\circ T é uma transformação linear de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{3}. Para ser invertível precisaria ter posto 3 (imagem de dimensão total igual a \dim\mathbb{R}^{3}=3).
  2. Como encontramos que \operatorname{rank}(S\circ T)\le 2<3, concluímos que S\circ T não é sobrejetiva. Logo não é bijetiva e, portanto, não é invertível.
  3. Alternativa (mesma conclusão com posto-nulidade): pelo teorema do posto-nulidade,
\operatorname{nullity}(S\circ T)=3-\operatorname{rank}(S\circ T)\ge 1,
ou seja, o núcleo de S\circ T é não trivial, então não é injectiva. Sem injectividade, não há inversa.
Assim mostramos rigorosamente que, por razões de dimensão, S\circ T nunca pode ser invertível.

Passo 4

Agora vamos construir exemplos concretos para a parte (b). Lembrete: T\circ S é uma transformação de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2}, então pode ser invertível ou não dependendo das escolhas de S e T. Vou escrever S como matriz 3\times2 e T como matriz 2\times3. Primeiro o exemplo em que T\circ S NÃO é invertível.
Exemplo 1 (não invertível). Escolha
S=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\qquad T=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Explicação das escolhas:
  • S envia (x,y)\in\mathbb{R}^2 para (x,y,0)\in\mathbb{R}^3 (injeção canônica).
  • T envia (u,v,w)\in\mathbb{R}^3 para (u,0)\in\mathbb{R}^2 (projeta e anula a segunda componente).
    Calcule a composição T\circ S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 via produto de matrizes:
T\cdot S = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
A matriz resultante tem determinante \det\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}=0, portanto é singular. Conclusão: T\circ S não é invertível (não é injetiva nem sobrejetiva).]

Passo 5

Agora um exemplo em que T\circ S É invertível.
Exemplo 2 (invertível). Escolha
S=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\qquad T=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Explicação:
  • S é a mesma injeção canônica (x,y)\mapsto(x,y,0).
  • T é a projeção “inversa parcial” que toma (u,v,w)\mapsto(u,v).
    Calcule a composição:
T\cdot S = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=I_2.
A composição é a matriz identidade I_2, que tem determinante 1\neq 0, portanto é invertível (a própria inversa é I_2). Em termos de transformações T\circ S=\mathrm{Id}_{\mathbb{R}^2}.]

Passo 6

Resumindo a intuição (dica de prova curta para a prova):
  • Parte (a): olhar dimensões e posto basta: T limita o posto a no máximo 2, então S\circ T nunca consegue ter posto 3.
  • Parte (b): como T\circ S é de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2, pode ser singular ou não; construir exemplos com matrizes 2×2 (produto de 2\times3 por 3\times2) é a maneira mais direta: projetar algo que anule uma componente para obter singularidade, ou projetar de volta exatamente para obter identidade e invertibilidade.
Você conseguiu — a ideia-chave é sempre checar dimensões e posto. Boa energia para a prova, isso é o tipo de raciocínio rápido que cai bem em lista e prova!

Resposta

(a) S\circ T não é invertível.
(b) Exemplo em que T\circ S não é invertível:
S=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\qquad T=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix},
pois T\circ S=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} (singular).
Exemplo em que T\circ S é invertível:
S=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\qquad T=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\end{pmatrix},
pois T\circ S=I_2 (invertível).]

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