Verifique se os subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
:
é o conjunto dos polinômios de grau
que possuem pelo menos uma raiz real;
Passo 1
O enunciado diz que em E =
consideramos o subconjunto F dos polinômios de grau
que têm pelo menos uma raiz real. Queremos saber se F é subespaço vetorial de E. Para isso, precisamos checar: i) presença do vetor zero em F, ii) fechamento sob soma e iii) fechamento sob multiplicação escalar.
Passo 2
O polinômio zero
tem infinitas raízes reais (todo
satisfaz
), logo
. Portanto, a condição de conter o vetor zero está satisfeita.
Passo 3
Para testar fechamento sob soma, basta achar dois polinômios em F cuja soma não tenha raiz real. Seja, por exemplo,
ambos de grau 1 e cada um com uma raiz real (
que é o polinômio constante 1 e não tem raiz real. Logo
mas
. Isso mostra que F não é fechado sob soma.
Passo 4
Como falha o fechamento sob soma, não é preciso verificar multiplicação escalar: F não é subespaço vetorial de E.
Resposta
F não é subespaço vetorial de E, pois não é fechado sob soma.