Verifique se os subconjuntos F abaixo são subespaços vetoriais de E=mathscrF([a, b], R) :
F é o conjunto dos polinômios de grau <= 4 que possuem pelo menos uma raiz real;

Passo 1

O enunciado diz que em E = mathscrF([a,b],R) consideramos o subconjunto F dos polinômios de grau <=4 que têm pelo menos uma raiz real. Queremos saber se F é subespaço vetorial de E. Para isso, precisamos checar: i) presença do vetor zero em F, ii) fechamento sob soma e iii) fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

O polinômio zero 0(x)=0 tem infinitas raízes reais (todo x satisfaz 0(x)=0), logo 0in F. Portanto, a condição de conter o vetor zero está satisfeita.

Passo 3

Para testar fechamento sob soma, basta achar dois polinômios em F cuja soma não tenha raiz real. Seja, por exemplo,
p(x)=x-a, q(x)=-x+a+1,
ambos de grau 1 e cada um com uma raiz real ( p(a)=0 e q(a+1)=0). No entanto,
p(x)+q(x)=(x-a)+(-x+a+1)=1,
que é o polinômio constante 1 e não tem raiz real. Logo p,qin F mas p+qnotin F. Isso mostra que F não é fechado sob soma.

Passo 4

Como falha o fechamento sob soma, não é preciso verificar multiplicação escalar: F não é subespaço vetorial de E.

Resposta

F não é subespaço vetorial de E, pois não é fechado sob soma.

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