Sejam V um EVPI e u e v vetores linearmente dependentes não nulos. Mostre que u e v não são ortogonais.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial real com produto interno, e que u e v são vetores não nulos e linearmente dependentes. Queremos mostrar que eles não são ortogonais, isto é, que
lang<= u,vrang<= neq 0
Para isso usaremos a definição de dependência linear e as propriedades do produto interno (bilinearidade e positividade definida).

Passo 2

Por dependência linear de u e v (ambos não nulos) existe escalar lambdaneq 0 tal que
u=lambda,v

Passo 3

Aplicando bilinearidade do produto interno, obtemos
lang<= u,vrang<= =lang<= lambda,v,,vrang<= =lambda,lang<= v,vrang<= =lambda,|v|^2

Passo 4

Como lambdaneq 0 e |v|^2>0 (positividade definida do produto interno), segue
lang<= u,vrang<==lambda,|v|^2neq 0
Mas vetores ortogonais satisfazem lang<= u,vrang<==0. Portanto u e v não são ortogonais.

Resposta

u e v não são ortogonais.

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