Sejam
um EVPI e
e
vetores linearmente dependentes não nulos. Mostre que
e
não são ortogonais.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial real com produto interno, e que
e
são vetores não nulos e linearmente dependentes. Queremos mostrar que eles não são ortogonais, isto é, que
Para isso usaremos a definição de dependência linear e as propriedades do produto interno (bilinearidade e positividade definida).
Passo 2
Por dependência linear de
e
(ambos não nulos) existe escalar
tal que
Passo 3
Aplicando bilinearidade do produto interno, obtemos
Passo 4
Como
e
(positividade definida do produto interno), segue
Mas vetores ortogonais satisfazem
. Portanto
e
não são ortogonais.