Seja V um K-espaço vetorial de dimensão finita, S subseteq V e Phi: V V^* * o isomorfismo (definido em sala de aula) que leva v mapsto phiv onde phiv: V^* K é dado por T mapsto phiv(T)=T(v). Mostre que S é um conjunto gerador de .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial de dimensão finita V e para um subconjunto S⊆V, o conjunto S gera o subespaço Phi^-1l((S^0)^0r), onde S^0 é o anulador de S e Phicolon Vto V^** é o isomorfismo canônico. Vamos usar a teoria de anuladores e um argumento de dimensão para chegar lá.

Passo 2

Definimos o anulador de S em V* como S^0=fin V^*mid f(s)=0,,forall sin S. A seguir, o anulador de S^0 em V** é (S^0)^0=Psiin V^**mid Psi(f)=0,,forall fin S^0.

Passo 3

Como Phi é definido por Phi(v)=phiv com phiv(f)=f(v), temos
Phi^-1l((S^0)^0r)=vin Vmid phiv(f)=0,,forall fin S^0
ou seja
Phi^-1l((S^0)^0r)=vin Vmid f(v)=0,,forall fin S^0

Passo 4

Agora mostramos que lang<= Srang<=subseteqPhi^-1l((S^0)^0r). Se v=sumi ai si com siin S, então para todo fin S^0 vale
f(v)=fl(sumi ai sir)=sumi ai f(si)=sumi aicdot0=0
Logo v anula todos fin S^0, mostrando a inclusão.

Passo 5

Para ver que não há vetor extra em Phi^-1((S^0)^0), usamos contagem de dimensão. Seja n=dim V e k=dimlang<= Srang<=. Então
dim S^0=n-k
e, como V^** também tem dimensão n,
dim (S^0)^0=n-dim S^0=n-(n-k)=k
Portanto Phi^-1((S^0)^0) é um subespaço de dimensão k que contém lang<= Srang<=. A única possibilidade é que
Phi^-1l((S^0)^0r)=lang<= Srang<=

Resposta

O subespaço Phi^-1l((S^0)^0r) coincide com lang<= Srang<=, logo S gera Phi^-1l((S^0)^0r).

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