Seja
um
-espaço vetorial de dimensão finita,
e
o isomorfismo (definido em sala de aula) que leva
onde
é dado por
. Mostre que
é um conjunto gerador de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial de dimensão finita V e para um subconjunto S⊆V, o conjunto S gera o subespaço
, onde
é o anulador de S e
é o isomorfismo canônico. Vamos usar a teoria de anuladores e um argumento de dimensão para chegar lá.
Passo 2
Definimos o anulador de S em V* como
. A seguir, o anulador de
em V** é
.
Passo 3
Como
é definido por
com
, temos
ou seja
Passo 4
Agora mostramos que
. Se
com
, então para todo
vale
Logo
anula todos
, mostrando a inclusão.
Passo 5
Para ver que não há vetor extra em
, usamos contagem de dimensão. Seja
e
. Então
e, como
também tem dimensão
,
Portanto
é um subespaço de dimensão
que contém
. A única possibilidade é que
Resposta
O subespaço
coincide com
, logo S gera
.