Seja
um
-espaço vetorial e
um operador linear. Sejam
um polinômio irredutível e
um inteiro positivo. Suponha que existe
tal que
. Seja
.
a Mostre que
onde
é coprimo com
e
.
b Mostreque
. Logo os únicos subespaços
-cíclicosde
são
c Mostre que todo subespaço
-invariante de
é
-cíclico, ou seja, é da forma
com
.
a Mostre que
b Mostreque
Passo 1
O enunciado pede para entender a estrutura do subespaço cíclico Z(v;T), sabendo que o vetor v tem polinômio mínimo p^m, onde p é irredutível em K[x]. Vamos mostrar que todo w∈Z(v;T) se escreve como q(T)p(T)^l(v) com gcd(q,p)=1 e 0≤l≤m, depois que o subespaço gerado por w coincide com o de p(T)^l(v) e, por fim, que todo subespaço T-invariante de Z(v;T) é cíclico dessa forma.
Passo 2
Para a parte (a), comece observando que w∈Z(v;T) implica w=r(T)v para algum r∈K[x]. Como p é irreducível, podemos fatorar r(x)=p(x)^l·s(x) com s(x) coprimo a p e l≥0 máximo. Então w=r(T)v=s(T)p(T)^l(v). Se l>m então p(T)^m(v)=0 ⇒ w=0, logo podemos tomar 0≤l≤m.
Passo 3
Para a parte (b), vamos comparar Z(w;T) e Z(p(T)^l(v);T). Se u∈Z(w;T), então u=a(T)w=a(T)s(T)p(T)^l(v) e logo u∈Z(p(T)^l(v);T). Para a inclusão inversa usamos que gcd(s,p)=1 implica existência de A,B∈K[x] com A·s+B·p=1. Aplicando em T e atuando sobre p(T)^l(v) obtemos p(T)l(v)=A(T)s(T)p(T)l(v)+B(T)p(T)^{l+1}(v), isto é p(T)^l(v)∈Z(w;T). Como Z(p(T)^{l+1}(v);T)⊆Z(w;T), segue Z(p(T)^l(v);T)⊆Z(w;T). Concluímos Z(w;T)=Z(p(T)^l(v);T) e obtemos a cadeia 0=Z(p(T)^m(v))⊂⋯⊂Z(v;T).
Passo 4
Para a parte ©, qualquer subespaço W⊆Z(v;T) que seja T-invariante é gerado ciclicamente por algum vetor w∈W, isto é W=Z(w;T). Pela parte (a) w=q(T)p(T)^l(v) com gcd(q,p)=1 e pela (b) W=Z(p(T)^l(v);T). Assim toda subespaço T-invariante de Z(v;T) é da forma Z(p(T)^l(v);T) com 0≤l≤m.
Resposta
Todos os subespaços T-invariantes de Z(v;T) são cíclicos da forma Z(p(T)^l(v);T), com 0\le l\le m, gerando a cadeia 0=Z(p(T)^m(v))\subset\cdots\subset Z(p(T)(v))\subset Z(v;T).