Seja V um K-espaço vetorial e T: V V um operador linear. Sejam p in K[x] um polinômio irredutível e m um inteiro positivo. Suponha que existe v in V tal que pv=p^m. Seja w in Z(v ; T).
a Mostre que w=q(T) p(T)^l(v) onde q in K[x] é coprimo com p e 0 <= l <= m.
b Mostreque T. Logo os únicos subespaços Z(v ; T)-cíclicosde 0=Z(p(T)^m(v) ; T) subset Z(p(T)^m-1(v) ; T) subset cdots subset Z(p(T)(v) ; T) subset Z(v ; T) são
T
c Mostre que todo subespaço Z(v ; T)-invariante de T é 0 <= l <= m-cíclico, ou seja, é da forma com .

Passo 1

O enunciado pede para entender a estrutura do subespaço cíclico Z(v;T), sabendo que o vetor v tem polinômio mínimo p^m, onde p é irredutível em K[x]. Vamos mostrar que todo w∈Z(v;T) se escreve como q(T)p(T)^l(v) com gcd(q,p)=1 e 0≤l≤m, depois que o subespaço gerado por w coincide com o de p(T)^l(v) e, por fim, que todo subespaço T-invariante de Z(v;T) é cíclico dessa forma.

Passo 2

Para a parte (a), comece observando que w∈Z(v;T) implica w=r(T)v para algum r∈K[x]. Como p é irreducível, podemos fatorar r(x)=p(x)^l·s(x) com s(x) coprimo a p e l≥0 máximo. Então w=r(T)v=s(T)p(T)^l(v). Se l>m então p(T)^m(v)=0 ⇒ w=0, logo podemos tomar 0≤l≤m.

Passo 3

Para a parte (b), vamos comparar Z(w;T) e Z(p(T)^l(v);T). Se u∈Z(w;T), então u=a(T)w=a(T)s(T)p(T)^l(v) e logo u∈Z(p(T)^l(v);T). Para a inclusão inversa usamos que gcd(s,p)=1 implica existência de A,B∈K[x] com A·s+B·p=1. Aplicando em T e atuando sobre p(T)^l(v) obtemos p(T)l(v)=A(T)s(T)p(T)l(v)+B(T)p(T)^{l+1}(v), isto é p(T)^l(v)∈Z(w;T). Como Z(p(T)^{l+1}(v);T)⊆Z(w;T), segue Z(p(T)^l(v);T)⊆Z(w;T). Concluímos Z(w;T)=Z(p(T)^l(v);T) e obtemos a cadeia 0=Z(p(T)^m(v))⊂⋯⊂Z(v;T).

Passo 4

Para a parte ©, qualquer subespaço W⊆Z(v;T) que seja T-invariante é gerado ciclicamente por algum vetor w∈W, isto é W=Z(w;T). Pela parte (a) w=q(T)p(T)^l(v) com gcd(q,p)=1 e pela (b) W=Z(p(T)^l(v);T). Assim toda subespaço T-invariante de Z(v;T) é da forma Z(p(T)^l(v);T) com 0≤l≤m.

Resposta

Todos os subespaços T-invariantes de Z(v;T) são cíclicos da forma Z(p(T)^l(v);T), com 0\le l\le m, gerando a cadeia 0=Z(p(T)^m(v))\subset\cdots\subset Z(p(T)(v))\subset Z(v;T).

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