Verifique se os conjuntos dados representam um subespaço vetorial do conjunto \mathbf{V} dado:
\mathbf{V}=\mathbf{R}^{3}, \mathbf{S}=\left\{(4 \boldsymbol{t}, \mathbf{2} \boldsymbol{t},-\boldsymbol{t}) \in \boldsymbol{R}^{3} / \mathbf{t} \in \mathbf{R}\right\};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \mathbf{S}=\{(4t,2t,-t)\in\mathbb{R}^3\mid t\in\mathbb{R}\}
é um subespaço vetorial de \mathbf{V}=\mathbb{R}^3.
Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço:
  1. Mostrar que \mathbf{0}\in\mathbf{S}.
  2. Fechamento sob soma.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo está em \mathbf{S}.
Se tomamos t=0, obtemos o vetor (4\cdot0,2\cdot0,-0)=(0,0,0). Logo,
(0,0,0)\in \mathbf{S}.

Passo 3

Mostramos fechamento sob soma.
Sejam
u=(4t_1,2t_1,-t_1)\in\mathbf{S} \quad\text{e}\quad v=(4t_2,2t_2,-t_2)\in\mathbf{S}.
Então
u+v=(4(t_1+t_2),\,2(t_1+t_2),\,-(t_1+t_2)),
e como t_1+t_2\in\mathbb{R}, segue u+v\in\mathbf{S}.

Passo 4

Mostramos fechamento sob multiplicação escalar.
Seja \alpha\in\mathbb{R} e
u=(4t,2t,-t)\in\mathbf{S}.
Então
\alpha u=(4(\alpha t),\,2(\alpha t),\,-(\alpha t)),
e como \alpha t\in\mathbb{R}, temos \alpha u\in\mathbf{S}.

Resposta

Sim. \mathbf{S} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3, pois contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

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