Seja
espaço vetorial sobre
. Para cada
, defina
dada por
. Mostre que
é um conjunto li. em
. Conclua que uma base de
é năo enumerável.
Passo 1
O enunciado trata de
, o espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes reais, e do seu dual
, o espaço de todas as aplicações lineares
. Para cada
definimos o funcional de avaliação
Queremos mostrar que o conjunto
é linearmente independente em
e, em seguida, concluir que qualquer base de
tem cardinalidade não enumerável. Para isso vamos usar o critério de independência linear e construir polinômios que “separam” os pontos
.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que haja uma combinação linear finita não trivial
em que
são distintos e nem todos os
são zero. O que essa igualdade significa é que, para todo polinômio
, vale
Passo 3
Vamos escolher polinômios que “anelam” todos os
com
deixando só
ativo. Defina, para cada
, o polinômio de Lagrange simplificado
Então para
temos
, e
pois os
são distintos. Substituindo
na combinação linear nula, obtemos
logo
. Como isso vale para todo
, segue
.
Passo 4
Mostramos que qualquer combinação finita não-trivial leva a coeficientes todos nulos. Portanto
é um conjunto linearmente independente em
.
Uma consequência imediata é que qualquer base de
precisa conter pelo menos todos esses
, de modo que seu cardinal é pelo menos
. Como
não é enumerável, nenhuma base de
pode ser enumerável.
Resposta
Mostramos que
é linearmente independente em
. Como há tantas funções
quantos reais existem, qualquer base de
tem cardinalidade não enumerável.