Seja V=P(R) espaço vetorial sobre R. Para cada alpha in R, defina falpha in V^* dada por falpha(p(t))=p(alpha). Mostre que falphaalpha in R é um conjunto li. em V^*. Conclua que uma base de V^* é năo enumerável.

Passo 1

O enunciado trata de V=P(R), o espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes reais, e do seu dual V^*, o espaço de todas as aplicações lineares VtoR. Para cada alphainR definimos o funcional de avaliação
falphacolon VtoR, falphal(p(t)r)=p(alpha)
Queremos mostrar que o conjunto falphaalphainR é linearmente independente em V^* e, em seguida, concluir que qualquer base de V^* tem cardinalidade não enumerável. Para isso vamos usar o critério de independência linear e construir polinômios que “separam” os pontos alpha.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que haja uma combinação linear finita não trivial
c1,falpha1 + c2,falpha2 + cdots + cn,falphan = 0
em que alpha1,dots,alphan são distintos e nem todos os ci são zero. O que essa igualdade significa é que, para todo polinômio pin V, vale
c1,p(alpha1) + c2,p(alpha2) + cdots + cn,p(alphan) = 0

Passo 3

Vamos escolher polinômios que “anelam” todos os com deixando só ativo. Defina, para cada , o polinômio de Lagrange simplificado
Então para temos , e
pois os são distintos. Substituindo na combinação linear nula, obtemos
logo . Como isso vale para todo , segue .

Passo 4

Mostramos que qualquer combinação finita não-trivial leva a coeficientes todos nulos. Portanto falphaalphainR é um conjunto linearmente independente em V^*.
Uma consequência imediata é que qualquer base de V^* precisa conter pelo menos todos esses falpha, de modo que seu cardinal é pelo menos lvertRrvert. Como R não é enumerável, nenhuma base de V^* pode ser enumerável.

Resposta

Mostramos que falphaalphainR é linearmente independente em V^*. Como há tantas funções falpha quantos reais existem, qualquer base de V^* tem cardinalidade não enumerável.

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