Sendo v1=(1,2) in R^2, determinar v2 in R^2 tal que v1, v2 seja base de R^2.

Passo 1

O enunciado dá o vetor v1=(1,2)inR^2 e pede um v2inR^2 de forma que v1,v2 seja base de R^2. Para isso precisamos usar o conceito de base em R^2, que equivale a escolher dois vetores linearmente independentes.

Passo 2

Em R^2, dois vetores v1 e v2 são linearmente independentes se, e somente se, o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores for diferente de zero. Ou seja, se
detl[v1;v2r]neq0,
então v1,v2 é base.

Passo 3

Basta escolher um v2 que não seja múltiplo de v1. Por exemplo, tomo
v2=(2,-1)
Como (2,-1) não é múltiplo escalar de (1,2), a independência linear tende a valer, mas vamos conferir pelo determinante.

Passo 4

Formo a matriz com colunas v1 e v2 e calculo seu determinante:
det 1 & 2 2 & -1 = 1 cdot (-1) - 2 cdot 2 = -1 - 4 = -5 neq 0
Como o determinante é não nulo, v1 e v2 são linearmente independentes e, portanto, formam base de R^2.

Resposta

Um exemplo de vetor que funciona é
v2=(2,-1)
Assim ,(1,2),,(2,-1) é base de R^2.

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