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) Seja
um
-espaço vetorial com as operações usuais.
a) Mostre que
e
são subespaços de
.
b) Verifique se
a) Mostre que
b) Verifique se
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
com as operações usuais e define
Queremos (a) mostrar que
e
são subespaços de
e (b) verificar se
, ou seja, se todo vetor de
se expressa de modo único como soma de um vetor em
e outro em
.
Passo 2
Para ver que
é subespaço, aplicamos os critérios: primeiro, o vetor zero
satisfaz
, logo
. Agora, se
e
estão em
, então
logo
. Finalmente, para qualquer escalar
,
então
. Portanto
é subespaço de
.
Passo 3
De modo análogo, para
note que
satisfaz
. Se
e
estão em
, então
e para escalar
temos
Logo
também é subespaço de
.
Passo 4
Para a soma direta precisamos de duas condições:
e
. Primeiro, se
então
Substituindo na primeira,
, segue
e
. Assim
.
Passo 5
Agora mostremos que
. Dado um vetor arbitrário
, buscamos
e
tais que
Pondo
, então
e
devem satisfazer
Isso sempre define um
, logo podemos decompor qualquer
como soma de um vetor em
e um em
. Assim
.
Resposta
As duas condições de soma direta estão satisfeitas:
e
. Portanto