4 ^ a ) Seja V=R^2 um R-espaço vetorial com as operações usuais.
a) Mostre que U=(x, y) in R^2 ; 2 x+3 y=0 e W=(x, y) in R^2 ; x-y=0 são subespaços de V.
b) Verifique se V=U oplus W

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial V=R^2 com as operações usuais e define
U=(x,y)inR^2;2x+3y=0, W=(x,y)inR^2;x-y=0
Queremos (a) mostrar que U e W são subespaços de V e (b) verificar se V=Uoplus W, ou seja, se todo vetor de V se expressa de modo único como soma de um vetor em U e outro em W.

Passo 2

Para ver que U é subespaço, aplicamos os critérios: primeiro, o vetor zero (0,0) satisfaz 2cdot0+3cdot0=0, logo (0,0)in U. Agora, se (x1,y1) e (x2,y2) estão em U, então
2(x1+x2)+3(y1+y2)=l(2x1+3y1r)+l(2x2+3y2r)=0+0=0,
logo (x1+x2,y1+y2)in U. Finalmente, para qualquer escalar alphainR,
2(alpha x1)+3(alpha y1)=alpha,(2x1+3y1)=alphacdot0=0,
então alpha(x1,y1)in U. Portanto U é subespaço de V.

Passo 3

De modo análogo, para W note que (0,0) satisfaz 0-0=0. Se (x1,y1) e (x2,y2) estão em W, então
(x1+x2)-(y1+y2)=(x1-y1)+(x2-y2)=0+0=0,
e para escalar alpha temos
(alpha x1)-(alpha y1)=alpha,(x1-y1)=alphacdot0=0
Logo W também é subespaço de V.

Passo 4

Para a soma direta precisamos de duas condições: Ucap W=(0,0) e U+W=V. Primeiro, se (x,y)in Ucap W então
2x+3y=0 e x-y=0;Rightarrow;x=y
Substituindo na primeira, 2y+3y=5y=0, segue y=0 e x=0. Assim Ucap W=(0,0).

Passo 5

Agora mostremos que U+W=V. Dado um vetor arbitrário (a,b)inR^2, buscamos (x1,y1)in U e (x2,y2)in W tais que
(x1,y1)+(x2,y2)=(a,b), 2x1+3y1=0, x2-y2=0
Pondo x2=y2=t, então x1=a-t e y1=b-t devem satisfazer
2(a-t)+3(b-t)=0 Longrightarrow 5t=2a+3b Longrightarrow t=2a+3b5
Isso sempre define um t, logo podemos decompor qualquer (a,b) como soma de um vetor em U e um em W. Assim U+W=V.

Resposta

As duas condições de soma direta estão satisfeitas: Ucap W=(0,0) e U+W=V. Portanto
V=Uoplus W

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