Seja
. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, precisamos lembrar os critérios que definem um subespaço vetorial:
- Contém o vetor zero,
- Fechado sob adição, e
- Fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos checar cada um desses pontos para ver se
é mesmo um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o conjunto
contém o vetor zero. O vetor zero em
é a matriz onde todos os elementos são zero, ou seja,
.
Vamos verificar se
:
Como
, a matriz zero satisfaz a condição
. Portanto,
.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Isso significa que, se
e
estão em
, então
também deve estar em
.
Ou seja, precisamos verificar se:
Vamos expandir o lado esquerdo:
Sabemos que
e
, já que
. Então:
Para que
esteja em
, precisamos que:
Isso simplifica para:
Isso significa que, para qualquer
, os produtos
e
devem ser iguais a zero para que
seja fechado sob adição. Porém, isso nem sempre acontece para matrizes gerais. Por exemplo, se escolhermos duas matrizes idempotentes que não se anulam mutuamente,
pode não ser zero.
Passo 4
Como vimos no passo anterior, a condição
nem sempre é satisfeita para matrizes em
. Portanto,
não é fechado sob adição.
Resposta
Não, o conjunto
não é um subespaço de
porque não é fechado sob adição.