Um subespaço
é invariante por um operador linear
se
. Determine os subespaços de
invariantes pelo operador linear
definido por
, onde
.
Passo 1
Estamos em
com o operador linear definido por
onde
. Queremos achar todos os subespaços
tais que
. Para isso vamos usar as noções de núcleo, imagem e critérios de invariância de subespaços de dimensão
e
.
Passo 2
Observe que
-
, logo
. - Para qualquer
, é perpendicular a . Assim
, ou seja
, que é um plano de dimensão .
Passo 3
Analisamos subespaços de dimensão
(linhas). Se
é invariante, então
Mas
só é múltiplo de
se for o vetor nulo, ou seja
. Isso ocorre exatamente quando
é paralelo a
. Concluímos que a única linha não trivial invariante é
.
Passo 4
Agora subespaços de dimensão
(planos). Seja
um plano invariante. Então
implica que
. Mas
já é um plano de dimensão
, então a única possibilidade é
Nenhum outro plano pode conter todo
sem coincidir com
.
Passo 5
Finalmente não podemos esquecer os casos triviais: o subespaço
e o próprio
são invariantes por qualquer operador linear.
Resposta
Os subespaços invariantes por
são:
,
,
e
.