Um subespaço W subset V é invariante por um operador linear A: V V se A(W) subset W. Determine os subespaços de R^3 invariantes pelo operador linear A: R^3 R^3 definido por A u=a times u, onde a neq 0.

Passo 1

Estamos em R^3 com o operador linear definido por
Acolon R^3 to R^3, A(u) = atimes u,
onde aneq0. Queremos achar todos os subespaços WsubsetR^3 tais que A(W)subset W. Para isso vamos usar as noções de núcleo, imagem e critérios de invariância de subespaços de dimensão 1 e 2.

Passo 2

Observe que
  1. A(a)=atimesa=0, logo
    ker(A)=spana.
  2. Para qualquer u, atimesu é perpendicular a a. Assim
    Im(A)subsetvmid vcdota=0, ou seja
    Im(A)=a^perp, que é um plano de dimensão 2.

Passo 3

Analisamos subespaços de dimensão 1 (linhas). Se W=spanv é invariante, então
A(v)=atimesv;in;spanv
Mas atimesv só é múltiplo de v se for o vetor nulo, ou seja atimesv=0. Isso ocorre exatamente quando v é paralelo a a. Concluímos que a única linha não trivial invariante é spana.

Passo 4

Agora subespaços de dimensão 2 (planos). Seja W um plano invariante. Então A(W)subset W implica que
Im(A)=a^perpsubset W. Mas a^perp já é um plano de dimensão 2, então a única possibilidade é
W=a^perp
Nenhum outro plano pode conter todo Im(A) sem coincidir com a^perp.

Passo 5

Finalmente não podemos esquecer os casos triviais: o subespaço 0 e o próprio R^3 são invariantes por qualquer operador linear.

Resposta

Os subespaços invariantes por A(u)=atimes u são:
0, spana, a^perp e R^3.

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