Um subespaço
é invariante por um operador linear
se
. Determine os subespaços invariantes de uma projeção ortogonal
sobre um subespaço
de dimensão
. Faça o mesmo no caso em que
é a projeção ortogonal sobre um subespaço
de dimensão 2 .
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os subespaços invariantes de uma projeção ortogonal
sobre um subespaço
.
Conteúdo: teoria de invariância de operadores lineares, autovalores e decomposição em soma direta de autovalores.
Conteúdo: teoria de invariância de operadores lineares, autovalores e decomposição em soma direta de autovalores.
Passo 2
Para qualquer projeção ortogonal
vale
os autovalores possíveis são
e
,
é o espaço próprio de valor próprio
e
é o espaço próprio de valor próprio
.
Logo
Logo
Passo 3
Um subespaço
é invariante por
se, e só se,
Usando a decomposição em autovalores, mostra-se que
Assim todo subespaço invariante é soma direta de um subespaço de
com um subespaço de
.
Passo 4
Caso
.
Então .
Então
- Subespaços de
: apenas e . - Subespaços de
: , quaisquer retas contidas em e todo .
Portanto os invariantes são
com
e
.
Em termos de dimensões, surge a lista completa:
Em termos de dimensões, surge a lista completa:
Passo 5
Caso
.
Então .
Então
- Subespaços de
: , quaisquer retas em e todo . - Subespaços de
: e .
Os invariantes são
com
e
.
Em dimensão:
Em dimensão:
Resposta
Para ambas as projeções ortogonais, todos os subespaços invariantes são exatamente as somas diretas
isto é, toda combinação de um subespaço de
com um subespaço de
.