Um subespaço W subset V é invariante por um operador linear A: V V se A(W) subset W. Determine os subespaços invariantes de uma projeção ortogonal P: R^3 R^3 sobre um subespaço W de dimensão 1 em R^3. Faça o mesmo no caso em que P é a projeção ortogonal sobre um subespaço W de dimensão 2 .

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os subespaços invariantes de uma projeção ortogonal
P:R^3toR^3 sobre um subespaço W.
Conteúdo: teoria de invariância de operadores lineares, autovalores e decomposição em soma direta de autovalores.

Passo 2

Para qualquer projeção ortogonal P vale
P^2 = P,
os autovalores possíveis são 1 e 0,
Im(P)=W é o espaço próprio de valor próprio 1 e
ker(P)=W^perp é o espaço próprio de valor próprio 0.
Logo
R^3 ;=; W ;oplus; W^perp

Passo 3

Um subespaço UsubsetR^3 é invariante por P se, e só se,
P(U)subset U
Usando a decomposição em autovalores, mostra-se que
U é invariante Long<=ftrightarrow U ;=; (Ucap W);oplus;(Ucap W^perp) é
Assim todo subespaço invariante é soma direta de um subespaço de W com um subespaço de W^perp.

Passo 4

Caso dim W=1.
Então dim W^perp=2.
  • Subespaços de W: apenas 0 e W.
  • Subespaços de W^perp: 0, quaisquer retas contidas em W^perp e todo W^perp.
    Portanto os invariantes são
U = Soplus T,
com Ssubset0,W e Tsubset,subespaços de W^perpç.
Em termos de dimensões, surge a lista completa:
&0, &as linhas em W,as linhas em W^perp, &W, W^perp,planos formados por Woplus(reta em W^perp), &R^3

Passo 5

Caso dim W=2.
Então dim W^perp=1.
  • Subespaços de W: 0, quaisquer retas em W e todo W.
  • Subespaços de W^perp: 0 e W^perp.
    Os invariantes são
U = Soplus T,
com Ssubsetsubespaços de Wç e Tsubset0,W^perp.
Em dimensão:
0,; retas em W,; W^perp,; W,; (reta em W)oplus W^perp,; R^3

Resposta

Para ambas as projeções ortogonais, todos os subespaços invariantes são exatamente as somas diretas
U=(Ucap W)oplus(Ucap W^perp),
isto é, toda combinação de um subespaço de W com um subespaço de W^perp.

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