Seja
com as operações de adição e de multiplicação por escalares dadas por
para todos
e
. Verifique que
é um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a “adição”
e a “multiplicação por escalar”
para todo
e
.
Precisamos verificar que satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo
.
Precisamos verificar que
Passo 2
Mostramos que
é um grupo abeliano:
- Fechamento: se
e então , logo . - Comutatividade:
. - Associatividade:
Passo 3
Ainda no grupo abeliano, exitem elemento neutro e inverso:
- Neutro: tomemos
, pois para todo
- Inverso: dado
, seu inverso em é , pois
Passo 4
Fechamento da multiplicação por escalares: se
e
, então
logo
.
Passo 5
Verificamos as duas leis de distributividade:
- Distributividade do escalar sobre soma de escalares:
- Distributividade da soma de vetores sobre escalar:
Passo 6
Faltam a associatividade da multiplicação por escalares e o elemento neutro do corpo:
- Associatividade de escalares:
- Neutro escalar: para
,
Resposta
Mostramos todos os axiomas de espaço vetorial (grupo abeliano em
, fechamento em
e compatibilidades). Portanto,
é de fato um espaço vetorial sobre
.