Seja V=\{x \in \mathbb{R} \mid x>0\} com as operações de adição e de multiplicação por escalares dadas por
x \oplus y=x y \quad \text { e } \quad \alpha \odot x=x^{\alpha},
para todos x, y \in V e \alpha \in \mathbb{R}. Verifique que V é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = \{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}
com a “adição”
x\oplus y = x\,y
e a “multiplicação por escalar”
\alpha\odot x = x^{\alpha},
para todo x,y\in V e \alpha\in\mathbb{R}.
Precisamos verificar que V satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R}.

Passo 2

Mostramos que (V,\oplus) é um grupo abeliano:
  1. Fechamento: se x>0 e y>0 então x\oplus y = xy>0, logo xy\in V.
  2. Comutatividade: x\oplus y = xy = yx = y\oplus x.
  3. Associatividade:
(x\oplus y)\oplus z = (xy)\,z = x\,(yz) = x\oplus(y\oplus z).

Passo 3

Ainda no grupo abeliano, exitem elemento neutro e inverso:
  1. Neutro: tomemos e=1, pois para todo x>0
x\oplus e = x\cdot1 = x \quad\text{e}\quad e\oplus x = 1\cdot x = x.
  1. Inverso: dado x>0, seu inverso em \oplus é x^{-1}, pois
x\oplus x^{-1} = x\cdot x^{-1} = 1 = e.

Passo 4

Fechamento da multiplicação por escalares: se x>0 e \alpha\in\mathbb{R}, então
\alpha\odot x = x^{\alpha}>0,
logo \alpha\odot x\in V.

Passo 5

Verificamos as duas leis de distributividade:
  1. Distributividade do escalar sobre soma de escalares:
(\alpha+\beta)\odot x = x^{\alpha+\beta} = x^{\alpha}\,x^{\beta} = (x^{\alpha})\oplus(x^{\beta}) = (\alpha\odot x)\oplus(\beta\odot x).
  1. Distributividade da soma de vetores sobre escalar:
\alpha\odot(x\oplus y) = \alpha\odot(xy) = (xy)^{\alpha} = x^{\alpha}y^{\alpha} = (x^{\alpha})\oplus(y^{\alpha}) = (\alpha\odot x)\oplus(\alpha\odot y).

Passo 6

Faltam a associatividade da multiplicação por escalares e o elemento neutro do corpo:
  1. Associatividade de escalares:
(\alpha\beta)\odot x = x^{\alpha\beta} \quad\text{e}\quad \alpha\odot(\beta\odot x) = \alpha\odot(x^{\beta}) = (x^{\beta})^{\alpha} = x^{\beta\alpha} = x^{\alpha\beta}.
  1. Neutro escalar: para \alpha=1,
1\odot x = x^{1} = x.

Resposta

Mostramos todos os axiomas de espaço vetorial (grupo abeliano em \oplus, fechamento em \odot e compatibilidades). Portanto, \bigl(V,\oplus,\odot\bigr) é de fato um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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