Seja V=(x, y) in R^2 mid y>0.
Suponha que sejam definidas em V uma adição e uma multiplicação por escalar tais que, para quaisquer v=(x1, y1) in V, w=(x2, y2) in V e k in R, tenhamos:
l v+w=(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2+1, y1 y2), k cdot v=k cdot(x1, y1)=(k x1+k-1, y1^k)
Sabendo que V, com essas novas operações de + e cdot, é um espaço vetorial, encontre :
(a) O elemento 0 de V, ou seja, aquele que faz o papel de vetor nulo deste espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver um exercício de álgebra linear. A questão fala sobre um conjunto V = (x, y) in R^2 mid y > 0 com operações de adição e multiplicação por escalar definidas de um jeito diferente. Precisamos encontrar o vetor nulo desse espaço vetorial, ou seja, aquele que, quando somado a qualquer outro vetor de V , não muda o vetor original.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor nulo num espaço vetorial. O vetor nulo, que a gente denota por 0 , tem a propriedade de que, para qualquer vetor v em V , a soma v + 0 = v . Aqui, + é a operação de adição definida no exercício.

Passo 3

Vamos aplicar essa propriedade com as operações dadas. Sejam v = (x1, y1) e 0 = (x, y) , então:
v + 0 = (x1 + x + 1, y1 cdot y) = (x1, y1)
Isso deve ser igual a v , ou seja:
(x1 + x + 1, y1 cdot y) = (x1, y1)

Passo 4

Agora, igualamos as componentes correspondentes:
  1. x1 + x + 1 = x1
    Simplificando: x + 1 = 0
    Portanto, x = -1
  2. y1 cdot y = y1
    Dividindo ambos os lados por y1 (já que y1 > 0 ):
y = 1

Resposta

O vetor nulo de V é 0 = (-1,, 1) .

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