Use o algoritmo da inversão para encontrar a inversa da matriz dada, se ela existir.
C=[rrr3 & 4 & -1 1 & 0 & 3 2 & 5 & -4]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa da matriz C usando o algoritmo da inversão. A gente vai precisar entender como funciona a inversão de matrizes, que envolve transformar a matriz original em uma identidade usando operações de linha, e aplicar essas mesmas operações na matriz identidade para obter a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz C e junto dela, colocar a matriz identidade do mesmo tamanho. Isso se chama matriz aumentada. Assim:
[ccc|ccc 3 & 4 & -1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 2 & 5 & -4 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Nosso objetivo é transformar a parte da esquerda dessa matriz aumentada, que é a matriz C , na matriz identidade. Para isso, vamos usar três tipos de operações de linha:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  3. Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra linha.

Passo 4

Vamos começar pela primeira coluna. Queremos ter 1 na posição (1,1). Atualmente, temos 3 lá. Para isso, dividimos a primeira linha por 3:
[ccc|ccc 1 & 43 & -13 & 13 & 0 & 0 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 2 & 5 & -4 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Agora, queremos zerar os outros elementos da primeira coluna. Vamos subtrair a primeira linha da segunda linha e, duas vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha 2 = Linha 2 - Linha 1:
1 - 1 = 0, 0 - 43 = -43, 3 - (-13) = 103
0 - 13 = -13, 1 - 0 = 1, 0 - 0 = 0
Linha 3 = Linha 3 - 2 * Linha 1:
2 - 2 times 1 = 0, 5 - 2 times 43 = 5 - 83 = 73, -4 - 2 times (-13) = -4 + 23 = -103
0 - 2 times 13 = -23, 0 - 2 times 0 = 0, 1 - 2 times 0 = 1
A matriz fica assim:
[ccc|ccc 1 & 43 & -13 & 13 & 0 & 0 0 & -43 & 103 & -13 & 1 & 0 0 & 73 & -103 & -23 & 0 & 1 ]

Passo 6

Vamos simplificar a segunda linha para ter 1 na posição (2,2). Multiplicamos a segunda linha por -3/4:
[ccc|ccc 1 & 43 & -13 & 13 & 0 & 0 0 & 1 & -104 & 14 & -34 & 0 0 & 73 & -103 & -23 & 0 & 1 ]
Simplificando os números:
[ccc|ccc 1 & 43 & -13 & 13 & 0 & 0 0 & 1 & -52 & 14 & -34 & 0 0 & 73 & -103 & -23 & 0 & 1 ]

Passo 7

Agora, vamos zerar os outros elementos na segunda coluna. Para isso, subtraímos 43 vezes a segunda linha da primeira linha e subtraímos 73 vezes a segunda linha da terceira linha.
Para a Linha 1:
Linha 1 = Linha 1 - 43 times Linha 2
Cálculos:
1 - 0 = 1, 43 - 43 times 1 = 0, -13 - 43 times (-52) = -13 + 103 = 3
13 - 43 times 14 = 13 - 13 = 0, 0 - 43 times (-34) = 0 + 1 = 1, 0 - 43 times 0 = 0
Para a Linha 3:
Linha 3 = Linha 3 - 73 times Linha 2
Cálculos:
0 - 0 = 0, 73 - 73 times 1 = 0, -103 - 73 times (-52) = -103 + 356 = 156 = 52
-23 - 73 times 14 = -23 - 712 = -812 - 712 = -1512 = -54, 1 - 73 times 0 = 1, 1 - 73 times 0 = 1
A matriz fica assim:
[ccc|ccc 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -52 & 14 & -34 & 0 0 & 0 & 52 & -54 & 1 & 1 ]

Passo 8

Agora, queremos ter 1 na posição (3,3). Para isso, multiplicamos a terceira linha por 25 :
[ccc|ccc 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -52 & 14 & -34 & 0 0 & 0 & 1 & -12 & 25 & 25 ]

Passo 9

Agora, vamos zerar os outros elementos na terceira coluna. Para isso, subtraímos 3 vezes a terceira linha da primeira linha e adicionamos 52 vezes a terceira linha à segunda linha.
Para a Linha 1:
Linha 1 = Linha 1 - 3 times Linha 3
Cálculos:
1 - 0 = 1, 0 - 0 = 0, 3 - 3 times 1 = 0
0 - 3 times (-12) = 32, 1 - 3 times 25 = 1 - 65 = -15, 0 - 3 times 25 = -65
Para a Linha 2:
Linha 2 = Linha 2 + 52 times Linha 3
Cálculos:
0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1, -52 + 52 times 1 = 0
14 + 52 times (-12) = 14 - 54 = -1, -34 + 52 times 25 = -34 + 1 = 14, 0 + 52 times 25 = 1
A matriz fica assim:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 32 & -15 & -65 0 & 1 & 0 & -1 & 14 & 1 0 & 0 & 1 & -12 & 25 & 25 ]

Resposta

A inversa da matriz C é:
C^-1 = [ccc 32 & -15 & -65 -1 & 14 & 1 -12 & 25 & 25 ]

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