Use o algoritmo da inversão para encontrar a inversa da matriz dada, se ela existir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa da matriz C usando o algoritmo da inversão. A gente vai precisar entender como funciona a inversão de matrizes, que envolve transformar a matriz original em uma identidade usando operações de linha, e aplicar essas mesmas operações na matriz identidade para obter a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz C e junto dela, colocar a matriz identidade do mesmo tamanho. Isso se chama matriz aumentada. Assim:
Nosso objetivo é transformar a parte da esquerda dessa matriz aumentada, que é a matriz C , na matriz identidade. Para isso, vamos usar três tipos de operações de linha:
Trocar duas linhas.
Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra linha.
Passo 4
Vamos começar pela primeira coluna. Queremos ter 1 na posição (1,1). Atualmente, temos 3 lá. Para isso, dividimos a primeira linha por 3:
Agora, queremos zerar os outros elementos da primeira coluna. Vamos subtrair a primeira linha da segunda linha e, duas vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha 2 = Linha 2 - Linha 1:
1 - 1 = 0, 0 - 43 = -43, 3 - (-13) = 103
0 - 13 = -13, 1 - 0 = 1, 0 - 0 = 0
Linha 3 = Linha 3 - 2 * Linha 1:
2 - 2 times 1 = 0, 5 - 2 times 43 = 5 - 83 = 73, -4 - 2 times (-13) = -4 + 23 = -103
0 - 2 times 13 = -23, 0 - 2 times 0 = 0, 1 - 2 times 0 = 1
Agora, vamos zerar os outros elementos na segunda coluna. Para isso, subtraímos 43 vezes a segunda linha da primeira linha e subtraímos 73 vezes a segunda linha da terceira linha.
Agora, vamos zerar os outros elementos na terceira coluna. Para isso, subtraímos 3 vezes a terceira linha da primeira linha e adicionamos 52 vezes a terceira linha à segunda linha.
Para a Linha 1:
Linha 1 = Linha 1 - 3 times Linha 3
Cálculos:
1 - 0 = 1, 0 - 0 = 0, 3 - 3 times 1 = 0
0 - 3 times (-12) = 32, 1 - 3 times 25 = 1 - 65 = -15, 0 - 3 times 25 = -65
Para a Linha 2:
Linha 2 = Linha 2 + 52 times Linha 3
Cálculos:
0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1, -52 + 52 times 1 = 0
14 + 52 times (-12) = 14 - 54 = -1, -34 + 52 times 25 = -34 + 1 = 14, 0 + 52 times 25 = 1