Seja X uma variável aleatória contínua cuja função densidade de probabilidade (f d p) é:
f(x)=rll e^-2 x & se & 0 <= x <= ln (2) 15304 raizx+1 & se & 3 <= x <= 8 0 & & c c
Mostre que E(X)=1133304-ln (2)8 e determine F(1 / 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função densidade de probabilidade (fdp) definida em partes. Precisamos calcular o valor esperado $ E(X) $ e determinar a função de distribuição acumulada $ F(1/2) $. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade contínua, integração e funções de distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o valor esperado $ E(X) $. Ele representa a média ponderada dos valores que $ X $ pode assumir, levando em conta a probabilidade de cada valor. Matematicamente, é dado por:
E(X)
No nosso caso, a fdp $ f(x) $ é não zero apenas em dois intervalos: de 0 a $ \ln(2) $ e de 3 a 8. Então, podemos calcular o valor esperado somando as integrais nesses intervalos.

Passo 3

Vamos calcular a primeira parte da integral para $ 0 \leq x \leq \ln(2) $:
0 <= x <= ln(2)
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
  • $ u = x $ então $ du = dx $
  • $ dv = e^{-2x} dx $ então $ v = -\frac{1}{2} e^{-2x} $
Aplicando integração por partes:
integral0^ln(2) x cdot e^-2x , dx
Então:
u = x
A segunda integral fica:
du = dx
Substituindo na expressão anterior:
dv = e^-2x dx

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda parte da integral para $ 3 \leq x \leq 8 $:
3 <= x <= 8
Primeiro, podemos fatorar a constante:
integral3^8 x cdot 15304 raizx+1 , dx
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
  • Deixe $ u = x + 1 $, então $ du = dx $ e $ x = u - 1 $
    Substituindo:
15304 integral3^8 x raizx+1 , dx
Calculando as integrais:
u = x + 1
Avaliado de 4 a 9:
du = dx
Calculando os valores:
x = u - 1
Substituindo:
15304 integral4^9 (u - 1) raizu , du = 15304 ( integral4^9 u^3/2 , du - integral4^9 u^1/2 , du )
Simplificando:
integral u^3/2 , du = 25 u^5/2 e integral u^1/2 , du = 23 u^3/2

Passo 5

Agora, vamos somar as duas partes que calculamos para encontrar o valor esperado $ E(X) $:
E(X)
Vamos simplificar:
E(X) = (-ln(2)8 + 316) + 26976
Então:
316 = 57304 e 26976 = 1076304

Passo 6

Agora, vamos determinar a função de distribuição acumulada $ F(1/2) $. A função $ F(x) $ nos dá a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a $ x $:
F(1/2)
Como $ 1/2 $ está no intervalo $ [0, \ln(2)] $, usamos a primeira parte da fdp:
F(x)

Resposta

E(X) = 1133304 - ln(2)8 e F(12) = 12 (1 - e^-1)

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