Seja X uma variável aleatória contínua cuja função densidade de probabilidade é dada por:
f(x)=rll e^-2 x+k e^-x & se & x>0 0 & & c c
Nessas condições, pede-se:
(a) O valor da constante k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função densidade de probabilidade dada por:
X á
Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da constante $ k $ que faz essa função ser uma verdadeira função de densidade de probabilidade. Para isso, precisamos lembrar que a integral de $ f(x) $ sobre todo o seu domínio deve ser igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função densidade de probabilidade. Basicamente, ela descreve a probabilidade de a variável aleatória $ X $ assumir valores dentro de um certo intervalo. Para ser válida, a área total sob a curva dessa função deve ser igual a 1.
Então, vamos calcular a integral de $ f(x) $ de 0 até $ +\infty $ e igualar a 1:
X

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. Podemos separar a integral em duas partes:
integral0^+infty e^-2x dx + k integral0^+infty e^-x dx = 1
Vamos resolver cada integral individualmente. Lembrando que:
integral0^+infty e^-ax dx = 1a
onde $ a > 0 $.

Passo 4

Aplicando essa regra, temos:
integral0^+infty e^-2x dx = 12
e
integral0^+infty e^-x dx = 1
Então, substituindo de volta na equação original:
12 + k cdot 1 = 1

Passo 5

Agora, é só resolver essa equação simples para encontrar $ k $:
k

Resposta

O valor da constante $ k $ é $ \frac{1}{2} $.

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