Seja
uma variável aleatória contínua cuja função densidade de probabilidade é dada por:
Nessas condições, pede-se:
(a) O valor da constante
.
(a) O valor da constante
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função densidade de probabilidade dada por:
Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da constante $ k $ que faz essa função ser uma verdadeira função de densidade de probabilidade. Para isso, precisamos lembrar que a integral de $ f(x) $ sobre todo o seu domínio deve ser igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função densidade de probabilidade. Basicamente, ela descreve a probabilidade de a variável aleatória $ X $ assumir valores dentro de um certo intervalo. Para ser válida, a área total sob a curva dessa função deve ser igual a 1.
Então, vamos calcular a integral de $ f(x) $ de 0 até $ +\infty $ e igualar a 1:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa integral. Podemos separar a integral em duas partes:
Vamos resolver cada integral individualmente. Lembrando que:
onde $ a > 0 $.
Passo 4
Aplicando essa regra, temos:
e
Então, substituindo de volta na equação original:
Passo 5
Agora, é só resolver essa equação simples para encontrar $ k $:
Resposta
O valor da constante $ k $ é $ \frac{1}{2} $.