Seja a variável aleatória X, definida como:
f(x)=l 8 x+4, para 0 <= x <= b 0, caso contrário á
Calcular:
© a probabilidade do evento 0 <= X <= 1 / 10

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com uma função de densidade de probabilidade definida por:
X á
O conteúdo que vamos usar aqui envolve funções de densidade de probabilidade e integração para calcular probabilidades. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de que $ X $ esteja entre 0 e $ \frac{1}{10} $, ou seja, $ P\left(0 \leq X \leq \frac{1}{10}\right) $.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que $ f(x) $ seja uma função de densidade válida. Isso significa que a integral de $ f(x) $ em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Então, vamos encontrar o valor de $ b $ que satisfaz essa condição.
f(x)

Passo 3

Vamos calcular essa integral:
integral (8x + 4) , dx = 4x^2 + 4x + C
Então,
4b^2 + 4b = 1

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática para encontrar $ b $:
b
Usando a fórmula de Bhaskara:
4b^2 + 4b - 1 = 0
Como $ b $ precisa ser positivo:
b = -4 pm raiz16 + 168 = -4 pm raiz328 = -4 pm 4raiz28 = -1 pm raiz22

Passo 5

Agora que sabemos que $ b \approx 0,2071 $, podemos calcular a probabilidade que queremos:
b approx 0,2071

Passo 6

Calculando essa integral:
integral (8x + 4) , dx = 4x^2 + 4x
Então,
P(0 <= X <= 110) = [4x^2 + 4x]0^0,1

Passo 7

Substituindo os limites:
= 4(0,1)^2 + 4(0,1) - (4(0)^2 + 4(0)) = 4(0,01) + 4(0,1) = 0,04 + 0,4 = 0,44

Resposta

A probabilidade de $ X $ estar entre 0 e $ \frac{1}{10} $ é 0,44.

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