Seja a variável aleatória
, definida como:
Calcular:
© a probabilidade do evento
© a probabilidade do evento
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com uma função de densidade de probabilidade definida por:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve funções de densidade de probabilidade e integração para calcular probabilidades. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de que $ X $ esteja entre 0 e $ \frac{1}{10} $, ou seja, $ P\left(0 \leq X \leq \frac{1}{10}\right) $.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que $ f(x) $ seja uma função de densidade válida. Isso significa que a integral de $ f(x) $ em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Então, vamos encontrar o valor de $ b $ que satisfaz essa condição.
Passo 3
Vamos calcular essa integral:
Então,
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática para encontrar $ b $:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como $ b $ precisa ser positivo:
Passo 5
Agora que sabemos que $ b \approx 0,2071 $, podemos calcular a probabilidade que queremos:
Passo 6
Calculando essa integral:
Então,
Passo 7
Substituindo os limites:
Resposta
A probabilidade de $ X $ estar entre 0 e $ \frac{1}{10} $ é 0,44.