Se X sim U(0,1) e Y sim U(0,1) são variáveis aleatórias independentes. Então
Obtenha a distribuição da variável alestória U=X / Y.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que são independentes e seguem uma distribuição uniforme no intervalo de 0 a 1, representado por $ X \sim U(0,1) $ e $ Y \sim U(0,1) $. A gente quer descobrir qual é a distribuição da variável $ \mathrm{U} = \frac{X}{Y} $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição de variáveis aleatórias e técnicas de cálculo para encontrar a função de densidade de probabilidade da $ \mathrm{U} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ \mathrm{U} = \frac{X}{Y} $. Como $ X $ e $ Y $ são independentes, a relação entre elas vai determinar como $ \mathrm{U} $ se comporta. Queremos descobrir a probabilidade de $ \mathrm{U} $ assumir certos valores, ou seja, sua função de distribuição acumulada (CDF).

Passo 3

A função de distribuição acumulada $ F_{\mathrm{U}}(u) $ é a probabilidade de $ \mathrm{U} $ ser menor ou igual a um valor $ u $:
FU(u)
Como $ X $ e $ Y $ são independentes, podemos reescrever isso como uma integral dupla sobre a região onde $ X \leq uY $.

Passo 4

Vamos calcular $ F_{\mathrm{U}}(u) $. A região onde $ X \leq uY $ depende de $ u $:
  • Se $ u < 1 $, então $ uY \leq Y \leq 1 $.
  • Se $ u \geq 1 $, $ uY $ pode ser maior que 1.
Então, dividimos o cálculo em dois casos:
Caso 1: $ 0 < u < 1 $
FU(u)
Caso 2: $ u \geq 1 $
X <= uY

Passo 5

Agora que temos a função de distribuição acumulada $ F_{\mathrm{U}}(u) $, podemos encontrar a função de densidade de probabilidade $ f_{\mathrm{U}}(u) $ derivando $ F_{\mathrm{U}}(u) $ em relação a $ u $:
Para $ 0 < u < 1 $:
FU(u)
Para $ u \geq 1 $:
fU(u)

Resposta

A distribuição da variável aleatória $ \mathrm{U} = \frac{X}{Y} $ é dada por:
U = XY á

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