Se
obtenha a distribuição da v.a.c
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a distribuição da variável aleatória contínua $ Y = X^{2} $, sabendo que $ X $ segue uma distribuição uniforme no intervalo
a
(ou seja, $ X \sim U(-1,1) $). Isso está dentro do conteúdo de Distribuições de Probabilidade e Transformações de Variáveis Aleatórias. Para resolver, vamos precisar entender como transformar uma variável aleatória através de uma função e achar sua nova distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma variável aleatória uniforme $ X \sim U(a,b) $ tem a função densidade de probabilidade (PDF) dada por:
No nosso caso, $ a = -1 $ e $ b = 1 $, então:
Passo 3
Queremos encontrar a distribuição de $ Y = X^{2} $. Uma maneira de fazer isso é encontrar a função densidade de probabilidade de $ Y $, $ f_Y(y) $. Para isso, usamos a técnica de transformação de variáveis. Quando $ Y = g(X) $, a PDF de $ Y $ pode ser encontrada por:
No nosso caso, $ g(x) = x^{2} $, então $ g’(x) = 2x $.
Passo 4
Vamos identificar para cada $ y $, quais são os valores de $ x $ que satisfazem $ y = x^{2} $. Claro que $ x = \sqrt{y} $ e $ x = -\sqrt{y} $. Portanto, temos dois pontos onde $ g(x) = y $, exceto quando $ y = 0 $.
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula:
Sabemos que $ f_X(\sqrt{y}) = f_X(-\sqrt{y}) = \frac{1}{2} $ para $ y $ no intervalo onde $ X $ está definido, que é $ y \in [0,1] $.
Passo 6
Substituindo esses valores:
Isso vale para $ y $ entre 0 e 1. Fora desse intervalo, a densidade é zero.
Passo 7
Então, a função densidade de probabilidade de $ Y $ é:
Resposta
A distribuição da variável aleatória $ Y = X^{2} $, onde $ X \sim U(-1,1) $, é dada por: