Se X sim U(-1,1) obtenha a distribuição da v.a.c Y=X^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a distribuição da variável aleatória contínua $ Y = X^{2} $, sabendo que $ X $ segue uma distribuição uniforme no intervalo Y = X^2 a X (ou seja, $ X \sim U(-1,1) $). Isso está dentro do conteúdo de Distribuições de Probabilidade e Transformações de Variáveis Aleatórias. Para resolver, vamos precisar entender como transformar uma variável aleatória através de uma função e achar sua nova distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma variável aleatória uniforme $ X \sim U(a,b) $ tem a função densidade de probabilidade (PDF) dada por:
X sim U(a,b) á
No nosso caso, $ a = -1 $ e $ b = 1 $, então:
fX(x) = 1b - a & se a <= x <= b, 0 & caso contrário

Passo 3

Queremos encontrar a distribuição de $ Y = X^{2} $. Uma maneira de fazer isso é encontrar a função densidade de probabilidade de $ Y $, $ f_Y(y) $. Para isso, usamos a técnica de transformação de variáveis. Quando $ Y = g(X) $, a PDF de $ Y $ pode ser encontrada por:
Y = X^2
No nosso caso, $ g(x) = x^{2} $, então $ g’(x) = 2x $.

Passo 4

Vamos identificar para cada $ y $, quais são os valores de $ x $ que satisfazem $ y = x^{2} $. Claro que $ x = \sqrt{y} $ e $ x = -\sqrt{y} $. Portanto, temos dois pontos onde $ g(x) = y $, exceto quando $ y = 0 $.

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula:
fY(y) = fX(raizy)|2raizy| + fX(-raizy)|2(-raizy)| = fX(raizy)2raizy + fX(-raizy)2raizy
Sabemos que $ f_X(\sqrt{y}) = f_X(-\sqrt{y}) = \frac{1}{2} $ para $ y $ no intervalo onde $ X $ está definido, que é $ y \in [0,1] $.

Passo 6

Substituindo esses valores:
fY(y) = 122raizy + 122raizy = 14raizy + 14raizy = 12raizy
Isso vale para $ y $ entre 0 e 1. Fora desse intervalo, a densidade é zero.

Passo 7

Então, a função densidade de probabilidade de $ Y $ é:
Y á

Resposta

A distribuição da variável aleatória $ Y = X^{2} $, onde $ X \sim U(-1,1) $, é dada por:
Y = X^2 á

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