Seja X\) uma variável aleatória discreta com função de probabilidade dada por \[f(x)= \begin{cases}\binom{n}{x} p^{x}(1-p)^{n-x}, & x=0,1, \cdots \\\\ 0, & \text { caso contrári }\end{cases}
Assumindo p=0.3\] e \(n=5, pede-se:
Calcule a média e a variância de X. (resp:
E(X)=1.5 ; V(X)=1.05)

Passo 1

O enunciado dá a função de probabilidade
f(x)= \begin{cases} \binom{n}{x} p^{x}(1-p)^{n-x}, & x=0,1,\ldots,n,\\\\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}á
com os parâmetros dados \;p=0,3\; e \;n=5\;. Pede-se calcular a média e a variância da variável aleatória X.
Informações relevantes que temos: n=5, p=0,3, e a função de probabilidade está na forma padrão que conta o número de “sucessos” em n tentativas (cada resultado x tem probabilidade \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}). Não vamos resolver ainda — só anotamos os dados e o que é pedido.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada de maneira didática): vamos representar X como soma de n variáveis indicadoras (cada uma indicando sucesso ou fracasso numa tentativa). Isso é natural quando se interpreta a PMF dada: X conta quantos sucessos ocorrem em n tentativas independentes, cada uma com probabilidade p de sucesso. Formalmente, definimos variáveis \;B_1,B_2,\dots,B_n\; tais que cada \;B_i\in\{0,1\}\; valendo 1 se a i-ésima tentativa é sucesso e 0 caso contrário. Então
X = B_1 + B_2 + \cdots + B_n.
Um exemplo concreto e pequeno para fixar a ideia: se n=3 e nas três tentativas os resultados forem (sucesso, fracasso, sucesso), então B_1=1, B_2=0, B_3=1 e X=1+0+1=2 sucessos no total.

Passo 3

Definição e cálculo da esperança de uma variável indicadora B: cada B_i é uma variável de Bernoulli com parâmetro p, isto é,
P(B_i=1)=p,\qquad P(B_i=0)=1-p.
A esperança (valor médio) de uma variável discreta é a soma de cada valor multiplicado pela sua probabilidade. Para B_i temos
E(B_i)=0\cdot(1-p)+1\cdot p = p.
Explicando em palavras: em média a variável indicadora vale p, porque com probabilidade p ela vale 1 e com probabilidade 1-p vale 0.

Passo 4

Cálculo da variância de uma variável indicadora B: a variância mede a dispersão ao redor da média e é dada por \operatorname{Var}(B)=E(B^2)-[E(B)]^2. Para uma variável indicadora B notamos que B^2=B (porque 0^2=0 e 1^2=1), então
E(B^2)=E(B)=p.
Assim
\operatorname{Var}(B)=p - p^2 = p(1-p).
Comentário prático: para uma Bernoulli o produto p(1-p) é máximo quando p=0,5 e zero quando p=0 ou p=1, o que faz sentido intuitivamente.

Passo 5

Cálculo da esperança de X usando linearidade da esperança: a propriedade “linearidade da esperança” diz que para quaisquer variáveis aleatórias Y_1,\dots,Y_n,
E\!\bigg(\sum_{i=1}^{n} Y_i\bigg)=\sum_{i=1}^{n} E(Y_i).
Não é necessária independência para essa propriedade. Aplicando-a a X=B_1+\cdots+B_n obtemos
E(X)=\sum_{i=1}^{n} E(B_i)=\sum_{i=1}^{n} p = np.
Substituindo n=5 e p=0,3,
E(X)=5\cdot 0,3 = 1,5.

Passo 6

Cálculo da variância de X usando independência: como as tentativas são independentes, as variáveis indicadoras B_1,\dots,B_n são independentes, e a variância da soma de variáveis independentes é a soma das variâncias:
\operatorname{Var}\!\bigg(\sum_{i=1}^{n} B_i\bigg)=\sum_{i=1}^{n} \operatorname{Var}(B_i).
Usando \operatorname{Var}(B_i)=p(1-p) de cada indicador, temos
\operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^{n} p(1-p) = np(1-p).
Substituindo n=5 e p=0,3: primeiro calcule \;p(1-p)=0,3\cdot(1-0,3)=0,3\cdot0,7=0,21\;. Depois
\operatorname{Var}(X)=5\cdot 0,21 = 1,05.
Comentário: escolhemos esse método (decompôr em indicadores) porque é simples, usa propriedades básicas (linearidade da esperança e soma de variâncias para independentes) e evita somas longas de x\cdot P(X=x).

Resposta

E(X)=1,5
\operatorname{Var}(X)=1,05

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