Seja
uma variâvel aleatória com distribuição
, calcular:
Passo 1
O enunciado dá que
é uma variável aleatória com distribuição normal padrão, isto é,
. Ele pede a probabilidade
Informações relevantes fornecidas:
- A média é
. - A variância é
. - A variável pedida é uma normal padrão (o enunciado usou
e depois ; vou entender que é uma variável com a mesma distribuição padrão ).
Passo 2
O que significa calcular
?
Para uma normal padrão definimos a densidade de probabilidade (função densidade) por
Para uma normal padrão definimos a densidade de probabilidade (função densidade) por
onde
é o ponto em que avaliamos a densidade,
é a base dos logaritmos naturais e
é uma constante de normalização que garante que a área total sob a curva seja
.
A função de distribuição acumulada (CDF), que dá exatamente a probabilidade pedida, é
Explicando devagar:
soma (integra) as áreas da densidade desde
até
, e isso é a probabilidade de a variável tomar um valor menor ou igual a
.
Importante: a integral acima não tem antiderivada expressável em funções elementares, por isso na prática usamos tabelas da normal padrão, calculadoras, ou a função erro (erf). Existe a relação
onde
Mas, para provas, o procedimento usual é usar uma tabela da normal padrão ou saber alguns valores comuns (ou usar calculadora).
Também é útil usar a simetria da normal padrão: como a média é
, a distribuição é simétrica em torno de zero. Logo
e a área entre
e
é a mesma que entre
e
. Assim
Na prática, tabelas dão diretamente
.
Passo 3
Aplicando o que foi explicado ao caso
:
Usando a simetria e o valor da tabela para a área entre
e
,
Se preferir a expressão com a função erro, temos
e numericamente
, o que também leva a
, arredondando para quatro casas decimais
.
Um lembrete amigo: na prova, se a tabela dá só áreas positivas (de
até
), use a simetria para montar probabilidades à esquerda de
. Para
é um valor muito comum — decorar
é bastante útil.