Seja X uma variâvel aleatória com distribuição N(0,1), calcular:
\mathrm{P}(\mathrm{Z} \leq 1)

Passo 1

O enunciado dá que X é uma variável aleatória com distribuição normal padrão, isto é, X\sim N(0,1). Ele pede a probabilidade
\mathrm{P}(\mathrm{Z}\leq 1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A média é 0.
  • A variância é 1.
  • A variável pedida é uma normal padrão (o enunciado usou X e depois Z; vou entender que Z é uma variável com a mesma distribuição padrão N(0,1)).

Passo 2

O que significa calcular \mathrm{P}(\mathrm{Z}\leq 1)?
Para uma normal padrão definimos a densidade de probabilidade (função densidade) por
f_Z(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-z^2/2},
onde z é o ponto em que avaliamos a densidade, e é a base dos logaritmos naturais e \sqrt{2\pi} é uma constante de normalização que garante que a área total sob a curva seja 1.
A função de distribuição acumulada (CDF), que dá exatamente a probabilidade pedida, é
\Phi(z)=\mathrm{P}(Z\leq z)=\int_{-\infty}^{z} f_Z(t)\,dt.
Explicando devagar: \Phi(z) soma (integra) as áreas da densidade desde -\infty até z, e isso é a probabilidade de a variável tomar um valor menor ou igual a z.
Importante: a integral acima não tem antiderivada expressável em funções elementares, por isso na prática usamos tabelas da normal padrão, calculadoras, ou a função erro (erf). Existe a relação
\Phi(z)=\tfrac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\!\biggl(\tfrac{z}{\sqrt{2}}\biggr)\right],
onde
\operatorname{erf}(u)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{u} e^{-t^2}\,dt.
Mas, para provas, o procedimento usual é usar uma tabela da normal padrão ou saber alguns valores comuns (ou usar calculadora).
Também é útil usar a simetria da normal padrão: como a média é 0, a distribuição é simétrica em torno de zero. Logo
\Phi(0)=\tfrac{1}{2},
e a área entre 0 e 1 é a mesma que entre -1 e 0. Assim
\Phi(1)=\Phi(0)+\mathrm{P}(0<Z\leq 1)=\tfrac{1}{2}+\mathrm{P}(0<Z\leq 1).
Na prática, tabelas dão diretamente \mathrm{P}(0<Z\leq 1)=0,3413.

Passo 3

Aplicando o que foi explicado ao caso z=1:
Usando a simetria e o valor da tabela para a área entre 0 e 1,
\Phi(1)=\tfrac{1}{2}+0,3413=0,8413.
Se preferir a expressão com a função erro, temos
\Phi(1)=\tfrac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\!\biggl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\biggr)\right]
e numericamente \operatorname{erf}\!\bigl(1/\sqrt{2}\bigr)\approx 0,682689, o que também leva a \Phi(1)\approx 0,8413447, arredondando para quatro casas decimais 0,8413.
Um lembrete amigo: na prova, se a tabela dá só áreas positivas (de 0 até z), use a simetria para montar probabilidades à esquerda de z. Para z=1 é um valor muito comum — decorar 0,8413 é bastante útil.

Resposta

0,8413

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