Seja
uma variável aleatória com distribuição
, calcule:
Passo 1
Neste exercício, temos uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal $ N(10, 100) $. Nosso objetivo é calcular a probabilidade $ P(X < 30) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e padronização.
Passo 2
Primeiro, identificamos os parâmetros da distribuição normal. Aqui, a média $ \mu $ é 10 e a variância $ \sigma^2 $ é 100. O desvio padrão $ \sigma $ é a raiz quadrada da variância:
Passo 3
Queremos encontrar $ P(X < 30) $. Para isso, vamos padronizar a variável $ X $ usando a fórmula de padronização, que transforma $ X $ em uma variável $ Z $ com distribuição normal padrão $ N(0, 1) $:
Passo 4
Substituímos os valores de $ X $, $ \mu $ e $ \sigma $ na fórmula:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a probabilidade $ P(Z < 2) $. Isso significa que vamos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar a área à esquerda de $ Z = 2 $.
Passo 6
Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos que:
Resposta
A probabilidade $ P(X < 30) $ é aproximadamente $ 0,9772 $ ou 97,72%.