Seja X uma variável aleatória com distribuição Normal, com média 64 e variância 16, ou seja, X \sim N(64,16), calcule:
P(X \geq 62)

Passo 1

O enunciado dá que X é uma variável aleatória com distribuição Normal de média 64 e variância 16. Ou seja:
X \sim N(64,16).
O que se pede é a probabilidade
P(X \geq 62).
Informações relevantes que já temos anotadas:
\text{média } \mu = 64,\qquad \text{variância } \sigma^2 = 16,\qquad \text{desvio padrão } \sigma = 4.éâã

Passo 2

Vamos transformar (padronizar) X para uma variável normal padrão Z com média 0 e variância 1. A fórmula de padronização é:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde X é a variável original, \mu é a média de X e \sigma é o desvio padrão de X. Isso funciona porque a transformação linear desloca e escala a distribuição, levando-a para a normal padrão, cuja tabela ou função acumulada \Phi é conhecida.

Passo 3

Aplicando a padronização ao ponto x=62:
z=\frac{62-64}{4}=\frac{-2}{4}=-0,5.
Portanto P(X\geq 62)=P\!\left(Z\geq -0,5\right).

Passo 4

Usamos as propriedades da função distribuição da normal padrão. Seja \Phi(t)=P(Z\leq t). Então:
P\!\left(Z\geq -0,5\right)=1-P\!\left(Z\leq -0,5\right)=1-\Phi(-0,5).
Como a distribuição normal padrão é simétrica em torno de zero, vale \Phi(-a)=1-\Phi(a). Substituindo:
1-\Phi(-0,5)=1-(1-\Phi(0,5))=\Phi(0,5).
Assim concluímos que
P(X\geq 62)=\Phi(0,5).

Passo 5

Agora precisamos do valor numérico de \Phi(0,5). Consultando uma tabela da normal padrão ou usando uma calculadora estatística, obtemos
\Phi(0,5)\approx 0,6915.
Explicando rapidamente a leitura da tabela: para z=0,50 a tabela dá aproximadamente 0,6915, ou usando função acumulada em software obtemos 0,691462\ldots, que arredondamos para 0,6915.

Passo 6

Resumo mental para a prova: padroniza sempre com Z=(X-\mu)/\sigma, calcula o z-score, usa a tabela/ \Phi e aproveita a simetria \Phi(-a)=1-\Phi(a) para facilitar leituras. Você conseguiu — é só prática!

Resposta

0,6915

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