Seja X uma variável aleatória com distribuição Normal, com média 64 e variância 16, ou seja, X \sim N(64,16), calcule:
P(X \leq 55)

Passo 1

O enunciado dá que X é uma variável aleatória com distribuição Normal, média 64 e variância 16. A pergunta é calcular
P(X \leq 55).
Informações relevantes dadas:
X \sim N(64,16),\qquad \text{ou seja,}\\ \mu=64,\\ \sigma^{2}=16.

Passo 2

Conceito e estratégia (aula rápida): para calcular probabilidades de uma Normal qualquer, padronizamos para a Normal padrão Z\sim N(0,1). A padronização usa a fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média de X e \sigma é o desvio padrão de X (ou seja, \sigma=\sqrt{\sigma^{2}}). Essa transformação serve porque tabelas e calculadoras fornecem a função distribuição acumulada da Normal padrão \Phi(z)=P(Z\le z). Então transformamos o problema para encontrar um valor de \Phi.

Passo 3

Calcular o desvio padrão \sigma:
\sigma=\sqrt{16}=4.
Agora aplicamos a padronização para x=55:
z=\frac{55-64}{4}=\frac{-9}{4}=-2{,}25.
Expliquei cada número: subtraí a média 64 do valor 55 e dividi pelo desvio padrão 4.

Passo 4

Transformar a probabilidade original usando Z:
P(X\le 55)=P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\le\frac{55-64}{4}\right)=P(Z\le -2{,}25)=\Phi(-2{,}25).
Uso uma propriedade da Normal padrão (simetria): para a>0,
\Phi(-a)=1-\Phi(a).
Justificativa curta: a densidade da Normal é simétrica em torno de zero, então a área à esquerda de -a é igual à área à direita de a, que é 1-\Phi(a).

Passo 5

Consultar tabela ou calculadora para \Phi(2{,}25). Usando uma tabela padrão de Z (peguei o valor da tabela padrão),
\Phi(2{,}25)=0{,}9878.
Aplicando a simetria:
\Phi(-2{,}25)=1-\Phi(2{,}25)=1-0{,}9878=0{,}0122.

Passo 6

Interpretação e dica prática: isso quer dizer que a probabilidade de X ser menor ou igual a 55 é aproximadamente 1{,}22\%. No exame, faça exatamente assim: calcule \sigma, padronize, encontre \Phi na tabela (ou use calculadora) e aplique a simetria se precisar do negativo. Você já consegue repetir isso para qualquer outro valor.

Resposta

P(X \leq 55) \approx 0,0122

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