Seja
uma variável aleatória com função de densidade dada por:
Calcule as seguintes probabilidades:
a) P
a) P
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma variável aleatória $ X $ com uma função de densidade específica. A questão pede para calcular a probabilidade de $ X $ estar entre -1 e 1. Vamos usar conceitos de cálculo de probabilidades para variáveis contínuas, especificamente integrando a função de densidade nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função de densidade $ f(x) $ que foi dada:
Essa função nos mostra como a probabilidade está distribuída ao longo dos valores de $ X $.
Passo 3
Para encontrar $ P(-1 < X < 1) $, precisamos calcular a área sob a curva de $ f(x) $ entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $. Em termos matemáticos, isso significa calcular a integral de $ f(x) $ de -1 a 1:
Passo 4
Vamos substituir $ f(x) $ na integral:
Agora, vamos calcular a integral:
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar para probabilidades.
Passo 5
Aplicando os limites de integração de -1 a 1:
Calculando dentro dos colchetes:
Resposta
A probabilidade $ P(-1 < X < 1) $ é igual a $ \frac{13}{27} $, aproximadamente 0,4815 ou 48,15%.