Seja X uma variável aleatória com função de densidade dada por:
f(x)=cc 136(9-x^2) & -3
Calcule as seguintes probabilidades:
a) P (-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma variável aleatória $ X $ com uma função de densidade específica. A questão pede para calcular a probabilidade de $ X $ estar entre -1 e 1. Vamos usar conceitos de cálculo de probabilidades para variáveis contínuas, especificamente integrando a função de densidade nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função de densidade $ f(x) $ que foi dada:
f(x) á
Essa função nos mostra como a probabilidade está distribuída ao longo dos valores de $ X $.

Passo 3

Para encontrar $ P(-1 < X < 1) $, precisamos calcular a área sob a curva de $ f(x) $ entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $. Em termos matemáticos, isso significa calcular a integral de $ f(x) $ de -1 a 1:
P(-1 < X < 1)

Passo 4

Vamos substituir $ f(x) $ na integral:
f(x)
Agora, vamos calcular a integral:
P(-1 < X < 1) = integral-1^1 136(9 - x^2) , dx
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar para probabilidades.

Passo 5

Aplicando os limites de integração de -1 a 1:
P(-1 < X < 1) = 136 [ (9(1) - 1^33) - (9(-1) - (-1)^33) ]
Calculando dentro dos colchetes:
= 136 [ (9 - 13) - (-9 + 13) ]
= 136 [ (273 - 13) - (-273 + 13) ]
= 136 [ 263 + 263 ]
= 136 times 523 = 52108 = 1327

Resposta

A probabilidade $ P(-1 < X < 1) $ é igual a $ \frac{13}{27} $, aproximadamente 0,4815 ou 48,15%.

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