Seja X uma variável aleatória com função de densidade dada por:
f(x)=cc 23 x^c & 0
b) determine a função de distribuição de X .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma variável aleatória $ X $ com uma função de densidade definida por:
X á
Aqui, estamos trabalhando com conceitos de função de densidade de probabilidade e função de distribuição acumulada. Para encontrar a função de distribuição de $ X $, que é $ F(x) $, vamos precisar integrar a função de densidade $ f(x) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de distribuição acumulada $ F(x) $ é definida como:
F(x)
No nosso caso, como $ f(x) = 0 $ para $ x \leq 0 $ e $ x \geq 1 $, podemos simplificar a integração para o intervalo relevante.

Passo 3

Vamos considerar três casos diferentes para $ F(x) $:
  1. Para $ x < 0 $:
    F(x)
    Porque a função de densidade é zero antes de $ x = 0 $.
  2. Para $ 0 \leq x < 1 $:
    x < 0
    Vamos resolver essa integral.
  3. Para $ x \geq 1 $:
    F(x) = 0
    Já que toda a probabilidade está acumulada até $ x = 1 $.

Passo 4

Focando no intervalo $ 0 \leq x < 1 $, vamos calcular a integral:
0 <= x < 1
Simplificando, temos:
F(x) = integral0^x 23 t^c , dt = 23 cdot t^c+1c+1 |0^x = 23(c+1) x^c+1

Passo 5

Juntando todos os casos, a função de distribuição $ F(x) $ fica:
F(x)

Resposta

A função de distribuição de $ X $ é:
X

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