Seja X uma variável aleatória com função de densidade dada por:
b) determine a função de distribuição de X .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma variável aleatória $ X $ com uma função de densidade definida por:
Aqui, estamos trabalhando com conceitos de função de densidade de probabilidade e função de distribuição acumulada. Para encontrar a função de distribuição de $ X $, que é $ F(x) $, vamos precisar integrar a função de densidade $ f(x) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de distribuição acumulada $ F(x) $ é definida como:
No nosso caso, como $ f(x) = 0 $ para $ x \leq 0 $ e $ x \geq 1 $, podemos simplificar a integração para o intervalo relevante.
Passo 3
Vamos considerar três casos diferentes para $ F(x) $:
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Para $ x < 0 $:Porque a função de densidade é zero antes de $ x = 0 $.
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Para $ 0 \leq x < 1 $:Vamos resolver essa integral.
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Para $ x \geq 1 $:Já que toda a probabilidade está acumulada até $ x = 1 $.
Passo 4
Focando no intervalo $ 0 \leq x < 1 $, vamos calcular a integral:
Simplificando, temos:
Passo 5
Juntando todos os casos, a função de distribuição $ F(x) $ fica:
Resposta
A função de distribuição de $ X $ é: