Seja X uma variável aleatória com função de densidade dada por:
f(x)=cc 23 x^c & 0
a) determine a constante c;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos deu uma função de densidade $ f(x) $ para uma variável aleatória $ X $ e pede para determinarmos a constante $ c $. Isso cai no conteúdo de Probabilidade e Distribuições de Probabilidade, especificamente em funções de densidade. Para resolver, vamos precisar lembrar que a integral de uma função de densidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função de densidade que foi dada:
f(x) = 23 x^c & se 0 < x < 1 0 & caso contrário á

Passo 3

Sabemos que para $ f(x) $ ser uma função de densidade válida, a integral dela de $ 0 $ a $ 1 $ precisa ser igual a $ 1 $. Ou seja:
f(x)

Passo 4

Substituindo $ f(x) $ na integral, temos:
f(x)
Agora, vamos resolver a integral. A integral de $ x^{c} $ em relação a $ x $ é:
integral0^1 23 x^c , dx = 1
onde $ C $ é a constante de integração. Aplicando isso na nossa integral:
x^c

Passo 5

Avaliando os limites da integral:
23 ( 1^c+1c+1 - 0^c+1c+1 ) = 1
Como $ 0^{c+1} = 0 $ para qualquer $ c $, simplificamos para:
0^c+1 = 0
Agora, isolamos $ c $:
c

Resposta

A constante $ c $ é igual a $ -\frac{1}{3} $.

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