Seja X uma variável aleatória com função de densidade dada por:
a) determine a constante c;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos deu uma função de densidade $ f(x) $ para uma variável aleatória $ X $ e pede para determinarmos a constante $ c $. Isso cai no conteúdo de Probabilidade e Distribuições de Probabilidade, especificamente em funções de densidade. Para resolver, vamos precisar lembrar que a integral de uma função de densidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função de densidade que foi dada:
Passo 3
Sabemos que para $ f(x) $ ser uma função de densidade válida, a integral dela de $ 0 $ a $ 1 $ precisa ser igual a $ 1 $. Ou seja:
Passo 4
Substituindo $ f(x) $ na integral, temos:
Agora, vamos resolver a integral. A integral de $ x^{c} $ em relação a $ x $ é:
onde $ C $ é a constante de integração. Aplicando isso na nossa integral:
Passo 5
Avaliando os limites da integral:
Como $ 0^{c+1} = 0 $ para qualquer $ c $, simplificamos para:
Agora, isolamos $ c $:
Resposta
A constante $ c $ é igual a $ -\frac{1}{3} $.