Seja
uma variável aleatória com função de densidade dada por:
Calcule as seguintes probabilidades:
b)
b)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar para resolvê-la.
Enunciado: Temos uma variável aleatória $ X $ com função de densidade dada por:
Nosso objetivo é calcular a probabilidade $ \mathrm{P}(|x| < 2) $.
Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções de densidade de probabilidade e como calcular probabilidades em intervalos usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar o que significa $ \mathrm{P}(|x| < 2) $.
A expressão $ |x| < 2 $ significa que o valor de $ x $ está entre -2 e 2. Ou seja:
Passo 3
Sabendo que $ X $ é uma variável aleatória contínua com função de densidade $ f(x) $, a probabilidade de $ X $ estar entre dois valores $ a $ e $ b $ é dada pela integral de $ f(x) $ de $ a $ até $ b $:
Então, para calcular $ \mathrm{P}(-2 < x < 2) $, vamos integrar $ f(x) $ de -2 a 2.
Passo 4
Vamos relembrar a função de densidade fornecida:
Fora desse intervalo, $ f(x) = 0 $.
Como estamos interessados em $ -2 < x < 2 $, dentro desse intervalo:
Passo 5
Agora, vamos montar a integral para calcular a probabilidade:
Podemos fatorar a constante $ \frac{1}{36} $ fora da integral:
Passo 6
Vamos calcular a integral $ \int (9 - x^{2}) , dx $.
A antiderivada de $ 9 $ é $ 9x $ e a antiderivada de $ x^{2} $ é $ \frac{x^{3}}{3} $. Portanto:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de -2 a 2.
Passo 7
Calculando nos limites:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = -2 $:
Agora, subtraímos o valor em $ x = -2 $ do valor em $ x = 2 $:
Passo 8
Finalmente, multiplicamos pelo fator $ \frac{1}{36} $ que havíamos colocado fora da integral:
Resposta
A probabilidade $ \mathrm{P}(|x| < 2) $ é $ \frac{23}{27} $ ou aproximadamente 0,852.