Suponha que X é uma variável aleatória tal que P(X=k)=(12)^k, para k=1,2,3, ldots. Seja A o conjunto de todos os números maiores que zero, inteiros e múltiplos de 3 , e defina Y=IA(X), onde IA(cdot) é a função indicadora do conjunto A. Determine a distribuição de Y.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre variáveis aleatórias e probabilidade. Precisamos entender como a variável $ Y $, que é uma função indicadora de certos múltiplos de 3, se distribui. Para isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição de probabilidade e séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é $ Y = I_A(X) $. Aqui, $ I_A(X) $ é a função indicadora do conjunto $ A $, que contém todos os números inteiros positivos que são múltiplos de 3. Isso significa que:
  • $ Y = 1 $ se $ X $ for múltiplo de 3.
  • $ Y = 0 $ caso contrário.
Portanto, $ Y $ pode assumir apenas dois valores: 0 ou 1.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a distribuição de $ Y $, ou seja, calcular $ P(Y=1) $ e $ P(Y=0) $.
Vamos começar com $ P(Y=1) $. Isso é igual à probabilidade de $ X $ ser um múltiplo de 3:
Y éú
Como $ X $ pode assumir valores $ 1, 2, 3, ··· $ com probabilidade $ P(X=k) = \left(\frac{1}{2}\right)^k $, temos:
P(Y=1)

Passo 4

Simplificando a soma acima:
sumk=1^infty (12)^3k = sumk=1^infty (18)^k
Essa é uma série geométrica onde o primeiro termo $ a = \frac{1}{8} $ e a razão $ r = \frac{1}{8} $. A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
a = 18
Mas aqui começamos em $ k=1 $, então:
r = 18
Aplicando isso:
sumk=1^infty ar^k-1 = a1 - r

Passo 5

Portanto, $ P(Y=1) = \frac{1}{7} $.
E como $ Y $ só pode ser 0 ou 1, a probabilidade de $ Y=0 $ é:
P(Y=1) = 17

Resposta

A distribuição de $ Y $ é:
Y

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