Suponha que
é uma variável aleatória tal que
, para
. Seja
o conjunto de todos os números maiores que zero, inteiros e múltiplos de 3 , e defina
, onde
é a função indicadora do conjunto
. Determine a distribuição de
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre variáveis aleatórias e probabilidade. Precisamos entender como a variável $ Y $, que é uma função indicadora de certos múltiplos de 3, se distribui. Para isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição de probabilidade e séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é $ Y = I_A(X) $. Aqui, $ I_A(X) $ é a função indicadora do conjunto $ A $, que contém todos os números inteiros positivos que são múltiplos de 3. Isso significa que:
- $ Y = 1 $ se $ X $ for múltiplo de 3.
- $ Y = 0 $ caso contrário.
Portanto, $ Y $ pode assumir apenas dois valores: 0 ou 1.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a distribuição de $ Y $, ou seja, calcular $ P(Y=1) $ e $ P(Y=0) $.
Vamos começar com $ P(Y=1) $. Isso é igual à probabilidade de $ X $ ser um múltiplo de 3:
Como $ X $ pode assumir valores $ 1, 2, 3, ··· $ com probabilidade $ P(X=k) = \left(\frac{1}{2}\right)^k $, temos:
Passo 4
Simplificando a soma acima:
Essa é uma série geométrica onde o primeiro termo $ a = \frac{1}{8} $ e a razão $ r = \frac{1}{8} $. A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Mas aqui começamos em $ k=1 $, então:
Aplicando isso:
Passo 5
Portanto, $ P(Y=1) = \frac{1}{7} $.
E como $ Y $ só pode ser 0 ou 1, a probabilidade de $ Y=0 $ é:
Resposta
A distribuição de $ Y $ é: