Seja \vec{F}=\nabla f, onde f(x, y)=x^{2}+y^{2}. Desenhe \vec{F}(x, y) \operatorname{com} x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado quer que a gente desenhe o campo vetorial \vec F=\nabla f no círculo dado por x^2+y^2=1. O conteúdo envolvido é cálculo de gradiente e parametrização de curvas. Para resolver, vamos (1) calcular o gradiente de f(x,y)=x^2+y^2 e em seguida (2) restringi-lo à circunferência unitária usando x=\cos\theta, y=\sin\theta.

Passo 2

Calculando o gradiente de
f(x,y)=x^2+y^2
temos
\nabla f=(\partial_x f,\;\partial_y f)=(2x,\;2y).

Passo 3

No círculo x^2+y^2=1 podemos usar a parametrização
x=\cos\theta,\quad y=\sin\theta,\quad 0\le\theta<2\pi.
Logo
\vec F(\cos\theta,\sin\theta) =\bigl(2\cos\theta,\;2\sin\theta\bigr).

Passo 4

Observe que \bigl(2\cos\theta,2\sin\theta\bigr) é paralelo ao vetor posição (\cos\theta,\sin\theta) e tem magnitude
\bigl\|\,(2\cos\theta,2\sin\theta)\bigr\|=2.
Isso significa que em cada ponto da circunferência unitária o vetor apontará radialmente para fora, com comprimento constante igual a 2.

Passo 5

Para desenhar, trace um círculo de raio 1 no plano xy e em alguns pontos-chave marque vetores:
  • Em (1,0), vetor (2,0) apontando para a direita.
  • Em (0,1), vetor (0,2) apontando para cima.
  • Em (-1,0), vetor (-2,0) apontando para a esquerda.
  • Em (0,-1), vetor (0,-2) apontando para baixo.
    Em qualquer outro ângulo, o vetor é um raio de comprimento 2 saindo do ponto.

Resposta

O campo \vec F=\nabla f restrito ao círculo unitário é formado por setas radiais para fora, todas de magnitude 2.

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