. Seja \vec{A} uma função vetorial das coordenadas cilindricas ( \rho, \varphi, z ). Calcule o divergente de \vec{A}, \vec{\nabla} . \vec{A}, e o rotacional de \vec{A}, \vec{\nabla} \times \vec{A}, em coordenadas cilindricas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular o divergente de \vec{A} e o rotacional de \vec{A}, quando \vec{A} é dada em coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z). As informações que temos (implícitas no enunciado) são:
\vec{A}(\rho,\varphi,z)=A_{\rho}(\rho,\varphi,z)\,\hat e_{\rho}+A_{\varphi}(\rho,\varphi,z)\,\hat e_{\varphi}+A_{z}(\rho,\varphi,z)\,\hat e_{z}.
Lista das quantidades relevantes fornecidas:
  • Os componentes escalares A_{\rho}, A_{\varphi} e A_{z} são funções de \rho,\varphi,z.
  • A base utilizada é a base ortonormal cilíndrica \{\hat e_{\rho},\hat e_{\varphi},\hat e_{z}\}.
    O que precisamos devolver: expressões explícitas para \vec{\nabla}\cdot\vec{A} e para \vec{\nabla}\times\vec{A} em termos de A_{\rho},A_{\varphi},A_{z} e suas derivadas parciais.

Passo 2

Entendendo a base cilíndrica e suas propriedades (a parte que costuma confundir muita gente): as direções unitárias em função de \varphi são
\hat e_{\rho}=\cos\varphi\,\hat i+\sin\varphi\,\hat j,
\hat e_{\varphi}=-\sin\varphi\,\hat i+\cos\varphi\,\hat j,
\hat e_{z}=\hat k.
Importante: \hat e_{\rho} e \hat e_{\varphi} dependem de \varphi. As derivadas em relação a \varphi são simples e úteis:
\frac{\partial \hat e_{\rho}}{\partial \varphi}=\hat e_{\varphi}, \qquad \frac{\partial \hat e_{\varphi}}{\partial \varphi}=-\hat e_{\rho}, \qquad \frac{\partial \hat e_{z}}{\partial \varphi}=\vec{0}.
Essas relações mostram por que aparecem termos com \rho e com derivadas em \varphi nas fórmulas: a própria base varia com \varphi.

Passo 3

Derivando o divergente por um argumento físico-intuitivo (fluxo através de uma caixa diferencial): considere o elemento de volume cilíndrico pequeno com arestas d\rho,\\ \rho\,d\varphi,\\ dz. O volume é
dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz.
Vamos calcular o fluxo líquido de \vec{A} saindo dessa caixinha e dividir por dV.
  1. Fluxo nas faces normais a \hat e_{\rho}:
    a face externa (em \rho+d\rho) tem área (\rho+d\rho)\,d\varphi\,dz e a componente normal é A_{\rho}(\rho+d\rho). A face interna (em \rho) tem área \rho\,d\varphi\,dz e fluxo A_{\rho}(\rho)\rho\,d\varphi\,dz. A diferença (fluxo líquido na direção \rho) é, usando expansão de Taylor até primeira ordem,
\big[(\rho+d\rho)\,A_{\rho}(\rho+d\rho)-\rho\,A_{\rho}(\rho)\big]d\varphi\,dz \approx\Big(\rho\,\frac{\partial A_{\rho}}{\partial \rho}d\rho + A_{\rho}\,d\rho\Big)d\varphi\,dz.
Dividindo por dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz obtemos a contribuição
\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_{\rho}).
  1. Fluxo nas faces normais a \hat e_{\varphi}:
    as faces estão em \varphi e \varphi+d\varphi; cada face tem área d\rho\,dz (a extensão radial vezes axial) e a diferença de fluxo é
\big[A_{\varphi}(\varphi+d\varphi)-A_{\varphi}(\varphi)\big]d\rho\,dz \approx \frac{\partial A_{\varphi}}{\partial \varphi}d\varphi\,d\rho\,dz.
Dividindo por dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz dá a contribuição
\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial \varphi}.
  1. Fluxo nas faces normais a \hat e_{z}:
    faces em z e z+dz têm área \rho\,d\rho\,d\varphi. A diferença de fluxo é
\big[A_{z}(z+dz)-A_{z}(z)\big]\rho\,d\rho\,d\varphi \approx \frac{\partial A_{z}}{\partial z}\,dz\;\rho\,d\rho\,d\varphi.
Dividindo por dV resulta em
\frac{\partial A_{z}}{\partial z}.
Somando as três contribuições, o divergente é a soma:
\vec{\nabla}\cdot\vec{A} =\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_{\rho}) +\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial \varphi} +\frac{\partial A_{z}}{\partial z}.

Passo 4

Comentando a expressão do divergente (para você aprender a usar na prova): cada termo tem interpretação geométrica:
  • \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_{\rho}) vem do fato de que áreas radiais crescem como \rho (circunferência);
  • \frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial \varphi} aparece porque a variação na direção angular tem fator 1/\rho por causa do comprimento arcual \rho d\varphi;
  • \frac{\partial A_{z}}{\partial z} é o termo usual axial.

Passo 5

Derivando o rotacional usando a fórmula padrão para coordenadas ortogonais (método prático para provas): em coordenadas ortogonais com fatores de escala h_1,h_2,h_3 existe uma forma “determinantal” conveniente:
\nabla\times\vec{A}=\frac{1}{h_1h_2h_3} \begin{vmatrix} h_1\hat e_1 & h_2\hat e_2 & h_3\hat e_3\\[4pt] \partial_{u_1} & \partial_{u_2} & \partial_{u_3}\\[4pt] h_1A_1 & h_2A_2 & h_3A_3 \end{vmatrix},
onde u_1,u_2,u_3 são as coordenadas e A_1,A_2,A_3 os componentes nessas direções. Na coordenada cilíndrica temos
u_1=\rho,\quad u_2=\varphi,\quad u_3=z,
e os fatores de escala (medindo comprimento elementar por variação de cada coordenada) são
h_{\rho}=1,\quad h_{\varphi}=\rho,\quad h_{z}=1.]

Passo 6

Aplicando a determinante ao caso cilíndrico (substituindo h e expandindo) obtemos, componente a componente:
Componente na direção \hat e_{\rho}:
(\nabla\times\vec{A})_{\rho} =\frac{1}{h_{\rho}h_{\varphi}h_{z}}\Big(\partial_{\varphi}(h_{z}A_{z})-\partial_{z}(h_{\varphi}A_{\varphi})\Big) =\frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial A_{z}}{\partial \varphi}-\frac{\partial}{\partial z}(\rho A_{\varphi})\Big).
Como \rho não depende de z, pode-se reescrever
(\nabla\times\vec{A})_{\rho}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{z}}{\partial \varphi}-\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial z}.
Componente na direção \hat e_{\varphi}:
(\nabla\times\vec{A})_{\varphi} =\frac{1}{h_{\rho}h_{\varphi}h_{z}}\Big(\partial_{z}(h_{\rho}A_{\rho})-\partial_{\rho}(h_{z}A_{z})\Big) =\frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial A_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial \rho}\Big).
Multiplicando por \rho e simplificando dá a forma usual
(\nabla\times\vec{A})_{\varphi}=\frac{\partial A_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial \rho}.
Componente na direção \hat e_{z}:
(\nabla\times\vec{A})_{z} =\frac{1}{h_{\rho}h_{\varphi}h_{z}}\Big(\partial_{\rho}(h_{\varphi}A_{\varphi})-\partial_{\varphi}(h_{\rho}A_{\rho})\Big) =\frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_{\varphi})-\frac{\partial A_{\rho}}{\partial \varphi}\Big).

Passo 7

Organizando tudo em vetor na base cilíndrica (e lembrando que os componentes que apareceram nas formas simplificadas já foram reescritos quando conveniente), temos o rotacional em sua forma final útil na prova:
\nabla\times\vec{A} =\Big(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{z}}{\partial \varphi}-\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial z}\Big)\hat e_{\rho} +\Big(\frac{\partial A_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial \rho}\Big)\hat e_{\varphi} +\frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_{\varphi})-\frac{\partial A_{\rho}}{\partial \varphi}\Big)\hat e_{z}.

Resposta

\vec{\nabla}\cdot\vec{A} =\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_{\rho}) +\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial \varphi} +\frac{\partial A_{z}}{\partial z}
\vec{\nabla}\times\vec{A} =\Big(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{z}}{\partial \varphi}-\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial z}\Big)\hat e_{\rho} +\Big(\frac{\partial A_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial \rho}\Big)\hat e_{\varphi} +\frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_{\varphi})-\frac{\partial A_{\rho}}{\partial \varphi}\Big)\hat e_{z}

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