. Seja \vec{A} uma função vetorial das coordenadas cilindricas ( \rho, \varphi, z ). Calcule o divergente de \vec{A}, \vec{\nabla} . \vec{A}, e o rotacional de \vec{A}, \vec{\nabla} \times \vec{A}, em coordenadas cilindricas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular o divergente de \vec{A} e o rotacional de \vec{A}, quando \vec{A} é dada em coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z). As informações que temos (implícitas no enunciado) são:
Os componentes escalares A_{\rho}, A_{\varphi} e A_{z} são funções de \rho,\varphi,z.
A base utilizada é a base ortonormal cilíndrica \{\hat e_{\rho},\hat e_{\varphi},\hat e_{z}\}.
O que precisamos devolver: expressões explícitas para \vec{\nabla}\cdot\vec{A} e para \vec{\nabla}\times\vec{A} em termos de A_{\rho},A_{\varphi},A_{z} e suas derivadas parciais.
Passo 2
Entendendo a base cilíndrica e suas propriedades (a parte que costuma confundir muita gente): as direções unitárias em função de \varphi são
Essas relações mostram por que aparecem termos com \rho e com derivadas em \varphi nas fórmulas: a própria base varia com \varphi.
Passo 3
Derivando o divergente por um argumento físico-intuitivo (fluxo através de uma caixa diferencial): considere o elemento de volume cilíndrico pequeno com arestas d\rho,\\ \rho\,d\varphi,\\ dz. O volume é
dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz.
Vamos calcular o fluxo líquido de \vec{A} saindo dessa caixinha e dividir por dV.
Fluxo nas faces normais a \hat e_{\rho}:
a face externa (em \rho+d\rho) tem área (\rho+d\rho)\,d\varphi\,dz e a componente normal é A_{\rho}(\rho+d\rho). A face interna (em \rho) tem área \rho\,d\varphi\,dz e fluxo A_{\rho}(\rho)\rho\,d\varphi\,dz. A diferença (fluxo líquido na direção \rho) é, usando expansão de Taylor até primeira ordem,
Fluxo nas faces normais a \hat e_{\varphi}:
as faces estão em \varphi e \varphi+d\varphi; cada face tem área d\rho\,dz (a extensão radial vezes axial) e a diferença de fluxo é
Comentando a expressão do divergente (para você aprender a usar na prova): cada termo tem interpretação geométrica:
\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_{\rho}) vem do fato de que áreas radiais crescem como \rho (circunferência);
\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial \varphi} aparece porque a variação na direção angular tem fator 1/\rho por causa do comprimento arcual \rho d\varphi;
\frac{\partial A_{z}}{\partial z} é o termo usual axial.
Passo 5
Derivando o rotacional usando a fórmula padrão para coordenadas ortogonais (método prático para provas): em coordenadas ortogonais com fatores de escala h_1,h_2,h_3 existe uma forma “determinantal” conveniente:
Organizando tudo em vetor na base cilíndrica (e lembrando que os componentes que apareceram nas formas simplificadas já foram reescritos quando conveniente), temos o rotacional em sua forma final útil na prova: