Sejam u, v \in \mathbb{R}^{3} com u=(-1,0,2) e v=(0,-1,2). Considere o produto interno usual, a distância e a norma providas do produto interno usual. Calcule:
d(u, v)-\langle u, v\rangle.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores em \mathbb{R}^3 com o produto interno usual, norma e distância associadas. Queremos calcular
d(u,v)-\langle u,v\rangle
sabendo que u=(-1,0,2) e v=(0,-1,2).

Passo 2

Para achar a distância d(u,v), primeiro formamos o vetor diferença u-v e depois calculamos sua norma:
u-v = (-1-0,\;0-(-1),\;2-2) = (-1,1,0),
\lVert u-v\rVert = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}.
Logo,
d(u,v) = \sqrt{2}.

Passo 3

Agora calculamos o produto interno \langle u,v\rangle pelo somatório dos produtos das componentes:
\langle u,v\rangle = (-1)\cdot 0 + 0\cdot(-1) + 2\cdot 2 = 4.

Passo 4

Substituindo os valores obtidos, temos
d(u,v) - \langle u,v\rangle = \sqrt{2} - 4.

Resposta

\sqrt{2} - 4

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