Seja \vec{v}=u \hat{\imath}+v \hat{\jmath}+w \hat{k} um vetor vento, cujas componentes u(x, y, z, t)=3 x+ 2 y z+u_{0}, v(x, y, z, t)=4 x y+3 t+v_{0} e w(x, y, z, t)=0 são expressas como função de x, y, z e t, onde u_{0} e v_{0} são constantes arbitrárias. Calcule:
\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidade \displaystyle \vec v(x,y,z,t)=u\,\hat\imath+v\,\hat\jmath+w\,\hat k
com
u(x,y,z,t)=3x+2yz+u_0,\quad v(x,y,z,t)=4xy+3t+v_0,\quad w(x,y,z,t)=0
e pede o vetor derivada parcial em relação ao tempo, ou seja \displaystyle \frac{\partial \vec v}{\partial t}.

Passo 2

Lembrando que a derivada parcial de um campo vetorial em relação a t age componente a componente, temos
\frac{\partial \vec v}{\partial t} =\frac{\partial u}{\partial t}\,\hat\imath +\frac{\partial v}{\partial t}\,\hat\jmath +\frac{\partial w}{\partial t}\,\hat k.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}. Como \displaystyle u=3x+2yz+u_0
não depende de t,
\frac{\partial u}{\partial t}=0.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial v}{\partial t}. Como \displaystyle v=4xy+3t+v_0,
a única dependência em t vem do termo 3t, logo
\frac{\partial v}{\partial t}=3.

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{\partial w}{\partial t}. Aqui \displaystyle w=0
é constante, então
\frac{\partial w}{\partial t}=0.

Resposta

\frac{\partial \vec v}{\partial t} =0\;\hat\imath+3\;\hat\jmath+0\;\hat k =3\,\hat\jmath.

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