Seja \vec{v}=u \hat{\imath}+v \hat{\jmath}+w \hat{k} um vetor vento, cujas componentes u(x, y, z, t)=3 x+ 2 y z+u_{0}, v(x, y, z, t)=4 x y+3 t+v_{0} e w(x, y, z, t)=0 são expressas como função de x, y, z e t, onde u_{0} e v_{0} são constantes arbitrárias. Calcule:
(\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o termo convectivo de aceleração (\vec v\cdot\nabla)\vec v
para o campo de velocidade \vec v = u\,\hat\imath + v\,\hat\jmath + w\,\hat k,
onde
u(x,y,z,t)=3x+2yz+u_0,\quad v(x,y,z,t)=4xy+3t+v_0,\quad w(x,y,z,t)=0.
Vamos usar a definição de derivada convectiva de um campo vetorial.

Passo 2

A derivada convectiva de \vec v é dada por
(\vec v\cdot\nabla)\vec v = \bigl(u\partial_x + v\partial_y + w\partial_z\bigr)\bigl(u\,\hat\imath + v\,\hat\jmath + w\,\hat k\bigr).
Isso gera as componentes
a_x = u\,\frac{\partial u}{\partial x} + v\,\frac{\partial u}{\partial y} + w\,\frac{\partial u}{\partial z},
a_y = u\,\frac{\partial v}{\partial x} + v\,\frac{\partial v}{\partial y} + w\,\frac{\partial v}{\partial z},
a_z = u\,\frac{\partial w}{\partial x} + v\,\frac{\partial w}{\partial y} + w\,\frac{\partial w}{\partial z}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial u}{\partial x}=3,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=2z,\quad \frac{\partial u}{\partial z}=2y,
\frac{\partial v}{\partial x}=4y,\quad \frac{\partial v}{\partial y}=4x,\quad \frac{\partial v}{\partial z}=0,
\frac{\partial w}{\partial x} =\frac{\partial w}{\partial y} =\frac{\partial w}{\partial z}=0.

Passo 4

Substituindo em cada componente:
Para a componente x:
a_x = u\cdot 3 + v\cdot (2z) + w\cdot(2y) =3u + 2z\,v,
para a componente y:
a_y = u\cdot(4y) + v\cdot(4x) + w\cdot 0 =4y\,u + 4x\,v,
para a componente z:
a_z = u\cdot 0 + v\cdot 0 + w\cdot 0 = 0.

Passo 5

Agora basta reescrever em termos de u(x,y,z,t) e v(x,y,z,t):
(\vec v\cdot\nabla)\vec v = \bigl(3u + 2z\,v\bigr)\,\hat\imath + \bigl(4y\,u + 4x\,v\bigr)\,\hat\jmath + 0\,\hat k.

Resposta

(\vec v\cdot\nabla)\vec v = \bigl(3u + 2z\,v\bigr)\,\hat\imath + \bigl(4y\,u + 4x\,v\bigr)\,\hat\jmath.

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