Seja \vec{A} um vetor arbitrário no plano horizontal e \hat{k} o versor unitário na direção vertical. Mostre que \hat{k} \times(\hat{k} \times \vec{A})=-\vec{A}.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um vetor arbitrário \vec{A} no plano horizontal (logo perpendicular a \hat{k}) e o versor unitário \hat{k} na direção vertical. Queremos mostrar que
\hat{k}\times\bigl(\hat{k}\times\vec{A}\bigr) = -\vec{A}.

Passo 2

Para resolver, vamos usar a identidade do produto vetorial triplo, que diz que para quaisquer vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} vale
\vec{u}\times\bigl(\vec{v}\times\vec{w}\bigr) = \vec{v}\,(\vec{u}\cdot\vec{w}) - \vec{w}\,(\vec{u}\cdot\vec{v}).

Passo 3

Aplicando essa identidade com \vec{u} = \hat{k}, \vec{v} = \hat{k} e \vec{w} = \vec{A}, obtemos
\hat{k}\times\bigl(\hat{k}\times\vec{A}\bigr) = \hat{k}\,(\hat{k}\cdot\vec{A}) - \vec{A}\,(\hat{k}\cdot\hat{k}).

Passo 4

Agora calculamos os produtos escalares: \hat{k}\cdot\vec{A}=0 pois \vec{A} está no plano horizontal e \hat{k} é vertical; \hat{k}\cdot\hat{k}=1 por ser um versor. Substituindo:
\hat{k}\,(\hat{k}\cdot\vec{A}) - \vec{A}\,(\hat{k}\cdot\hat{k}) = \hat{k}\,(0) - \vec{A}\,(1) = -\vec{A}.

Passo 5

Portanto concluímos que
\hat{k}\times\bigl(\hat{k}\times\vec{A}\bigr) = -\vec{A}.

Resposta

-\vec{A}

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