Suponha que estamos atirando dardos em um alvo circular com raio de 10 cm , e seja X a distância, em cm, do ponto atingido pelo dardo ao centro do alvo. A função densidade de probabilidade (f.d.p.) de X é
f(x)= k x, & 0 <= x <= 10 0, & c c
d) Calcule a esperança, a variância e o desvio padrão de X.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um alvo circular de raio 10 cm e quando atiramos um dardo, a distância X do ponto atingido até o centro do alvo segue uma distribuição de probabilidade contínua. A função densidade de probabilidade (f.d.p.) é dada por:
f(x)= k x, & 0 <= x <= 10 0, & caso contrário á
Para resolver a parte d), a gente precisa calcular a esperança (média), a variância e o desvio padrão de X. Vamos precisar usar algumas fórmulas básicas de estatística para distribuições contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de k. Sabemos que a integral da f.d.p. em todo o espaço deve ser igual a 1. Então, temos:
integral0^10 kx , dx = 1
Vamos resolver essa integral para encontrar k.

Passo 3

Calculando a integral:
integral0^10 kx , dx = k [ x^22 ]0^10 = k ( 10^22 - 0 ) = k times 50
Então:
k times 50 = 1 Rightarrow k = 150

Passo 4

Agora que encontramos k = 150, vamos calcular a esperança E(X). A fórmula para a esperança de uma variável contínua ��:
E(X) = integral0^10 x cdot f(x) , dx = integral0^10 x cdot 150x , dx = 150 integral0^10 x^2 , dx
Calculando a integral:
150 [ x^33 ]0^10 = 150 ( 10003 - 0 ) = 1000150 = 203 approx 6,666, cm

Passo 5

Agora, vamos calcular E(X^2) para encontrar a variância. A fórmula é:
E(X^2) = integral0^10 x^2 cdot f(x) , dx = integral0^10 x^2 cdot 150x , dx = 150 integral0^10 x^3 , dx
Calculando a integral:
150 [ x^44 ]0^10 = 150 ( 100004 - 0 ) = 10000200 = 50
Agora, a variância Var(X) é:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 50 - ( 203 )^2 = 50 - 4009 = 450 - 4009 = 509 approx 5,555, cm^2

Passo 6

Por fim, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Desvio,Padrão = raizVar(X) = raiz509 = raiz503 = 5raiz23 approx 2,357, cm ã

Resposta

A esperança de X é 203 cm (aproximadamente 6,666 cm), a variância é 509 cm² (aproximadamente 5,555 cm²) e o desvio padrão é 5raiz23 cm (aproximadamente 2,357 cm).

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