O tempo adequado de troca, X, de um amortecedor de certa marca em automóveis, sujeitos a uso contínuo e severo, pode ser considerado como uma variável contínua, medida em anos. Suponha que a função densidade de probabilidade (f.d.p.) desta variável seja dada pela seguinte expressão
f(x)= x / 4, & 0 <= x <= 2 1 / 8, & 2
b) Supondo que um automóvel está há 3 anos com o mesmo amortecedor, qual a probabilidade de que seja necessário fazer a troca antes de completar 4 anos de uso?

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre o tempo adequado para trocar o amortecedor de um carro, que é uma variável contínua medida em anos. A gente tem uma função de densidade de probabilidade, que basicamente nos diz a probabilidade de a troca acontecer em determinado período de tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades usando funções de densidade e trabalhar com intervalos de tempo específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo: o carro já está com o mesmo amortecedor há 3 anos, e queremos saber a probabilidade de precisar trocar antes de completar 4 anos. Isso significa que estamos interessados no tempo entre 3 e 4 anos.

Passo 3

Para calcular essa probabilidade, vamos usar a função de densidade de probabilidade P(3 < X < 4) = integral3^4 f(x) , dx . A probabilidade de o evento acontecer entre dois valores é dada pela integral da função de densidade entre esses dois pontos. Ou seja:

Passo 4

Vamos olhar a definição da função f(x)= x4, & 0 <= x <= 2 18, & 2 < x <= 6 0, & caso contr��rio :
Para entre 3 e 4, estamos na segunda parte da função, onde .

Passo 5

Então, substituindo na integral:
P(3 < X < 4) = integral3^4 18 , dx

Passo 6

Vamos calcular a integral. A integral de uma constante 18 times (4 - 3) = 18 times 1 = 18 em relação a entre 3 e 4 é:

Resposta

A probabilidade de ser necessário trocar o amortecedor antes de completar 4 anos de uso, dado que já estão 3 anos com o mesmo amortecedor, é ou 12,5%.

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