Seja
, com
.
Verifique se
satisfaz as equações de Cauchy-Riemann em
.
Verifique se
Passo 1
O enunciado dá a função complexa
definida por
com
, e especifica
O que é pedido: verificar se a função satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
. -
. - O domínio considerado é todo
(nenhuma restrição indicada).
Passo 2
O que são as equações de Cauchy–Riemann (CR) e por que as usamos. Breve aula:
- Para uma função
ser complexamente diferenciável (holomorfa) em um ponto, uma condição necessária (e, se as derivadas parciais forem contínuas, também suficiente) é que e satisfaçam as equações de Cauchy–Riemann nesse ponto. - As equações de Cauchy–Riemann são
onde
significa a derivada parcial de
em relação a
, etc.
- Além disso, para concluir que
é holomorfa numa região, é preciso que existam e sejam contínuas nessa região. No nosso caso, como e são polinômios em , as derivadas parciais existem e são contínuas em todo .
Passo 3
Identificar claramente
e
(peguei estes valores do enunciado):
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
e
, passo a passo (mostrando cada conta para você poder copiar na prova):
- Derivadas de
: porque é tratado como constante ao derivar em relação a . porque é constante ao derivar em relação a , e . - Derivadas de
: porque é constante ao derivar em relação a . porque é constante ao derivar em relação a .
Passo 5
Verificar as equações de Cauchy–Riemann substituindo as derivadas encontradas:
- Comparar
e : - Comparar
e :
Portanto, ambas as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todo
.
Passo 6
Conclusão sobre diferenciabilidade complexa e observação final (truque útil para a prova):
- Como
existem e são contínuas (são funções polinomiais), o fato de as equações de Cauchy–Riemann serem satisfeitas implica que é complexamente diferenciável em toda (ou seja, holomorfa em ; é uma função inteira). - Observação prática: a função dada é exatamente
, porque então faz sentido que seja holomorfa em todo lugar. A derivada complexa, que pode ser útil na prova, é
Resposta
Sim. As equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todo
; portanto
é holomorfa em
e
.