Seja f(z)=u(x, y)+i v(x, y), com z=x+i y.
Verifique se f(z)=x^{2}-y^{2}+2 x y i satisfaz as equações de Cauchy-Riemann em \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a função complexa f definida por
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y),
com z=x+iy, e especifica
f(z)=x^{2}-y^{2}+2xy\,i.
O que é pedido: verificar se a função satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em \mathbb{R}^{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • u(x,y)=x^{2}-y^{2}.
  • v(x,y)=2xy.
  • O domínio considerado é todo \mathbb{R}^{2} (nenhuma restrição indicada).

Passo 2

O que são as equações de Cauchy–Riemann (CR) e por que as usamos. Breve aula:
  • Para uma função f(z)=u(x,y)+i v(x,y) ser complexamente diferenciável (holomorfa) em um ponto, uma condição necessária (e, se as derivadas parciais forem contínuas, também suficiente) é que u e v satisfaçam as equações de Cauchy–Riemann nesse ponto.
  • As equações de Cauchy–Riemann são
u_x = v_y \qquad\text{e}\qquad u_y = -v_x,
onde u_x significa a derivada parcial de u em relação a x, etc.
  • Além disso, para concluir que f é holomorfa numa região, é preciso que u_x,u_y,v_x,v_y existam e sejam contínuas nessa região. No nosso caso, como u e v são polinômios em x,y, as derivadas parciais existem e são contínuas em todo \mathbb{R}^2.

Passo 3

Identificar claramente u e v (peguei estes valores do enunciado):
u(x,y)=x^{2}-y^{2}, \qquad v(x,y)=2xy.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de u e v, passo a passo (mostrando cada conta para você poder copiar na prova):
  • Derivadas de u(x,y)=x^{2}-y^{2}: u_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-y^{2})=2x,porque y^{2} é tratado como constante ao derivar em relação a x. u_y=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2})=-2y,porque x^{2} é constante ao derivar em relação a y, e \frac{d}{dy}(-y^{2})=-2y.
  • Derivadas de v(x,y)=2xy: v_x=\frac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y,porque 2y é constante ao derivar em relação a x. v_y=\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x,porque 2x é constante ao derivar em relação a y.

Passo 5

Verificar as equações de Cauchy–Riemann substituindo as derivadas encontradas:
  • Comparar u_x e v_y: u_x=2x,\qquad v_y=2x \quad\Rightarrow\quad u_x=v_y \text{ para todo }(x,y).
  • Comparar u_y e -v_x: u_y=-2y,\qquad -v_x=-(2y)=-2y \quad\Rightarrow\quad u_y=-v_x \text{ para todo }(x,y).
Portanto, ambas as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todo \mathbb{R}^2.

Passo 6

Conclusão sobre diferenciabilidade complexa e observação final (truque útil para a prova):
  • Como u_x,u_y,v_x,v_y existem e são contínuas (são funções polinomiais), o fato de as equações de Cauchy–Riemann serem satisfeitas implica que f é complexamente diferenciável em toda \mathbb{C} (ou seja, holomorfa em \mathbb{C}; é uma função inteira).
  • Observação prática: a função dada é exatamente f(z)=z^{2}, porque (x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy,então faz sentido que seja holomorfa em todo lugar. A derivada complexa, que pode ser útil na prova, é f'(z)=2z.

Resposta

Sim. As equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todo \mathbb{R}^{2}; portanto f é holomorfa em \mathbb{C} e f'(z)=2z.

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