Verifique se são LI ou não os seguintes casos:
a) e vetores de ;
b) e ;
c) e M3=[ll1 & 0 0 & 1], matrizes no espaço das matrizes de ordem 2.
Passo 1
O enunciado pede para testar a independência linear (LI) de três coleções de três vetores em espaços diferentes. Para verificar se v1,v2,v3 é LI em qualquer espaço vetorial, montamos a combinação linear
c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0
e verificamos se a única solução é c1=c2=c3=0.
Passo 2
Caso (a): vetores em R^3
v1=(1,2,5),;v2=(7,-1,5),;v3=(1,-1,-1)
Colocamos esses vetores como colunas da matriz
A = 1 & 7 & 1 2 & -1 & -1 5 & 5 & -1
Se det Aneq 0, então só existe a solução trivial e o conjunto é LI. Calculamos:
det A =1cdotdet-1 & -15 & -1 -7cdotdet2 & -15 & -1 +1cdotdet2 & -1-1 & 5
Cada menor é
det-1 & -15 & -1=(-1)(-1)-(-1)cdot5=6,
det2 & -15 & -1=2cdot(-1)-(-1)cdot5=3,
det2 & -1-1 & 5=2cdot5-(-1)(-1)=9
Logo
det A =1cdot6 -7cdot3 +1cdot9 =6-21+9=-6 neq 0,
logo v1,v2,v3 é LI.
Passo 3
Caso (b): polinômios em
Escrevemos
Igualando coeficientes:
Da primeira e então a terceira dá , logo e portanto . Só há solução trivial, então são LI.
Passo 4
Caso (c): matrizes em
Seja
Isso gera as equações por entrada:
Ou seja
Da segunda e da terceira implica . Logo . Só há solução trivial, então são LI.