Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
Sejam A e B matrizes inversíveis n times n, então (A^2+B^2)^-1=A^-2+B^-2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a propriedade
l(A^2+B^2r)^-1 stackrel?= A^-2+B^-2,
onde A e B são matrizes ntimes n invertíveis. O conteúdo envolve propriedades de inversa de soma de matrizes e mostraremos que, em geral, não existe fórmula simples que distribua a inversa sobre soma.

Passo 2

Vamos dar um contra-exemplo simples. Seja In a matriz identidade ntimes n, que é invertível com In^-1=In. Definimos
A = In, B = In
Então
A^2 = In, B^2 = In,
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A^2+B^2 = In+In = 2,In Longrightarrow l(A^2+B^2r)^-1 = (2,In)^-1 = tfrac12,In
Por outro lado,
A^-2 + B^-2 = In + In = 2,In
Como tfrac12,Inneq 2,In, temos
l(A^2+B^2r)^-1 neq A^-2+B^-2

Resposta

A afirmativa é falsa. Um contra-exemplo é A=B=In, pois aí l(A^2+B^2r)^-1=tfrac12In e A^-2+B^-2=2In, que são diferentes.

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