Seja A=[ccc2 & 2 & -2 5 & 1 & -3 1 & 5 & -3]. Verifique que A^3=03 times 3 e encontre a matriz (I3-A)(I3+A+A^2).

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
A^3 = 03times3
para
A = 2 & 2 & -2 5 & 1 & -3 1 & 5 & -3
e, em seguida, encontrar a matriz
(I3 - A),(I3 + A + A^2)
O conteúdo envolvido é multiplicação de matrizes e uso da identidade de soma de potências de A.

Passo 2

Primeiro encontramos
A^2 = Acdot A
Multiplicando linha a linha por coluna a coluna, obtemos
A^2 = 12 & -4 & -4 12 & -4 & -4 24 & -8 & -8

Passo 3

Agora calculamos
A^3 = A^2cdot A
Cada produto linha–coluna dá zero, pois as linhas de A^2 são múltiplos umas das outras e se aniquilam ao multiplicar por A. Logo,
A^3 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = 03times3

Passo 4

Usamos a identidade algébrica válida para quaisquer matrizes quadradas que comutem entre si (aqui vale pois é a mesma A):
(I3 - A)(I3 + A + A^2) = I3 - A^3
Como já vimos que A^3 = 03times3, segue que
(I3 - A)(I3 + A + A^2) = I3

Resposta

(I3 - A)(I3 + A + A^2) = I3

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