Sejam u, v e w arbitrários. Mostre que
u cdot(v+w)=u cdot v+u cdot w (distributividade) e u cdot v=v cdot u (comutatividade)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas propriedades do produto escalar em R^n:
  1. Distributividade:
u cdot (v + w) ;=;u cdot v + u cdot w
  1. Comutatividade:
u cdot v = v cdot u
Vamos usar a definição coordenada do produto escalar e as propriedades usuais de adição e multiplicação em R.

Passo 2

Escrevemos as componentes dos vetores:
u = (u1,u2,dots,un), v=(v1,v2,dots,vn), w=(w1,w2,dots,wn)
Então
v+w = (v1+w1,;v2+w2,;dots,;vn+wn)
e pela definição do produto escalar
ucdot(v+w) =sumi=1^nui,(vi+wi)

Passo 3

Aplicando a distributividade da multiplicação sobre a adição em cada termo da soma em R, obtemos
sumi=1^nui,(vi+wi) =sumi=1^nl(ui vi+ui wir) =sumi=1^nui vi ;+;sumi=1^nui wi
Pelo mesmo princípio, isso é
ucdotv ;+;ucdotw
Logo
ucdot(v+w) =ucdotv+ucdotw,
prova da distributividade.

Passo 4

Para a comutatividade, usamos que em R vale ui vi = vi ui em cada termo:
ucdotv =sumi=1^nui vi =sumi=1^nvi ui =vcdotu

Resposta

As duas propriedades ficam demonstradas:
ucdot(v+w) =ucdotv+ucdotw, ucdotv =vcdotu

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