Sejam
e
arbitrários. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas propriedades do produto escalar em
:
- Distributividade:
- Comutatividade:
Vamos usar a definição coordenada do produto escalar e as propriedades usuais de adição e multiplicação em
.
Passo 2
Escrevemos as componentes dos vetores:
Então
e pela definição do produto escalar
Passo 3
Aplicando a distributividade da multiplicação sobre a adição em cada termo da soma em
, obtemos
Pelo mesmo princípio, isso é
Logo
prova da distributividade.
Passo 4
Para a comutatividade, usamos que em
vale
em cada termo:
Resposta
As duas propriedades ficam demonstradas: