Seja a>0, verifique se a função
f(x)=rll a e^-a x & se & x >= 0 0 & se & x<0
tem densidade de probabilidade. Em seguida, calcule P(0<x<1).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= a e^-a x,&x>=0, 0,&x<0,
com a>0, e pede para verificar se isso é uma densidade de probabilidade e depois calcular P(0<x<1).
Para isso vamos usar que uma densidade de probabilidade deve satisfazer:
  1. f(x)>=0 para todo x.
  2. integral-infty^inftyf(x),dx=1.

Passo 2

Verificamos a não-negatividade:
  • Para x<0 temos f(x)=0>=0.
  • Para x>=0 temos f(x)=a e^-a x. Como a>0 e e^-a x>0, segue f(x)>0.

Passo 3

Agora checamos a normalização mediante a integral total:
integral-infty^inftyf(x),dx =integral0^inftya e^-a x,dx =aintegral0^inftye^-a x,dx =al[-tfrac1ae^-a xr]0^infty =1
Como a integral vale 1, concluímos que f é de fato uma densidade de probabilidade (é a distribuição exponencial de parâmetro a).

Passo 4

Para calcular P(0<x<1) usamos
P(0<x<1) =integral0^1a e^-a x,dx =al[-tfrac1ae^-a xr]0^1 =1-e^-a

Resposta

A função f é uma densidade de probabilidade e
P(0<x<1)=1-e^-a

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