Supondo que o percurso de um objeto no espaço é descrito pela função vetorial
Determine os intervalos de tempo em que é possível calcular a posição exata do objeto.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial que descreve o movimento de um objeto no espaço:
O que precisamos descobrir são os intervalos de tempo
em que conseguimos calcular a posição exata do objeto. Para isso, vamos analisar cada componente da função e ver onde elas são válidas.
Passo 2
Vamos começar com a primeira componente:
Para que essa expressão seja válida, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser não negativo, ou seja:
Além disso, o denominador
não pode ser zero, então
.
Passo 3
Vamos resolver a desigualdade
. Isso acontece quando:
- Ambos
e são positivos. - Ambos
e são negativos.
Vamos identificar os pontos críticos onde cada parte muda de sinal:
-
quando -
quando
Agora vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos:
-
Para
: -
-
- A fração é positiva.
-
-
Para
: -
-
- A fração é negativa.
-
-
Para
: -
-
- A fração é positiva.
-
Portanto, a primeira componente é válida para
.
Passo 4
Agora vamos para a segunda componente:
O logaritmo natural só é definido quando o argumento é positivo. Então precisamos que:
Isso significa que
é válida para
no intervalo
.
Passo 5
A terceira componente é:
A função exponencial está sempre definida para qualquer valor de
. Não precisamos nos preocupar com restrições aqui.
Passo 6
Agora, para encontrar os intervalos de
onde todas as componentes são válidas ao mesmo tempo, precisamos encontrar a interseção das restrições das duas primeiras componentes (já que a terceira não impõe restrições).
Temos:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
Vamos ver onde esses intervalos se sobrepõem:
-
Interseção com
: - Deve também estar em
. - Como
, o intervalo válido é .
- Deve também estar em
-
Interseção com
: - Deve também estar em
. - Como
, o intervalo válido é .
- Deve também estar em
Resposta
Os intervalos de tempo em que é possível calcular a posição exata do objeto são: