Supondo que o percurso de um objeto no espaço é descrito pela função vetorial
r(t)=(raizt-2t+1, ln (5-t^2), e^-t)
Determine os intervalos de tempo em que é possível calcular a posição exata do objeto.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial que descreve o movimento de um objeto no espaço:
r(t)=(raizt-2t+1, ln (5-t^2), e^-t)
O que precisamos descobrir são os intervalos de tempo t em que conseguimos calcular a posição exata do objeto. Para isso, vamos analisar cada componente da função e ver onde elas são válidas.

Passo 2

Vamos começar com a primeira componente:
x(t) = raizt-2t+1
Para que essa expressão seja válida, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser não negativo, ou seja:
t-2t+1 >= 0
Além disso, o denominador t+1 não pode ser zero, então t neq -1 .

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade t-2t+1 >= 0 . Isso acontece quando:
  1. Ambos t-2 e t+1 são positivos.
  2. Ambos t-2 e t+1 são negativos.
Vamos identificar os pontos críticos onde cada parte muda de sinal:
  • t - 2 = 0 quando t = 2
  • t + 1 = 0 quando t = -1
Agora vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos:
  • Para t < -1 :
    • t - 2 < 0
    • t + 1 < 0
    • A fração é positiva.
  • Para -1 < t < 2 :
    • t - 2 < 0
    • t + 1 > 0
    • A fração é negativa.
  • Para t > 2 :
    • t - 2 > 0
    • t + 1 > 0
    • A fração é positiva.
Portanto, a primeira componente é válida para t in (-infty, -1) cup (2, infty) .

Passo 4

Agora vamos para a segunda componente:
y(t) = ln (5 - t^2)
O logaritmo natural só é definido quando o argumento é positivo. Então precisamos que:
5 - t^2 > 0 implies t^2 < 5 implies -raiz5 < t < raiz5
Isso significa que y(t) é válida para t no intervalo (-raiz5, raiz5) .

Passo 5

A terceira componente é:
z(t) = e^-t
A função exponencial está sempre definida para qualquer valor de t . Não precisamos nos preocupar com restrições aqui.

Passo 6

Agora, para encontrar os intervalos de t onde todas as componentes são válidas ao mesmo tempo, precisamos encontrar a interseção das restrições das duas primeiras componentes (já que a terceira não impõe restrições).
Temos:
  • Primeira componente: t in (-infty, -1) cup (2, infty)
  • Segunda componente: t in (-raiz5, raiz5)
Vamos ver onde esses intervalos se sobrepõem:
  1. Interseção com t < -1 :
    • Deve também estar em (-raiz5, raiz5) .
    • Como -raiz5 approx -2.236 , o intervalo válido é (-raiz5, -1) .
  2. Interseção com t > 2 :
    • Deve também estar em (-raiz5, raiz5) .
    • Como raiz5 approx 2.236 , o intervalo válido é (2, raiz5) .

Resposta

Os intervalos de tempo em que é possível calcular a posição exata do objeto são:
t in (-raiz5, -1) cup (2, raiz5)

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